Тривиальное — понятие логики и математики¶

Тривиальное — в математике, логике и философии обозначает утверждение, истинность которого очевидна, доказывается непосредственно из определений или является следствием ранее установленных результатов настолько очевидным образом, что не требует отдельного нетривиального доказательства. Термин противопоставляется понятию «нетривиальный» (неочевидный, требующий существенных усилий для обоснования). Тривиальность — не объективное свойство утверждения, а оценка, зависящая от контекста, уровня подготовки аудитории и общепринятых в данной области знаний допущений.

¶Происхождение термина

Слово происходит от латинского trivialis — «обычный, простой, находящийся на перекрёстке» (от trivium — место слияния трёх дорог). В средневековой риторике trivium обозначало совокупность трёх начальных дисциплин логоса — грамматику, диалектику и риторику, изучавшихся на первых трёх ступенях образования. Отсюда trivialis получило значение «принадлежащий начальному, самому простому уровню обучения». В математический и логический обиход термин вошёл в XIX веке вместе с формированием аксиоматического метода, когда возникла необходимость разграничивать утверждения, требующие доказательства, и утверждения, принимаемые без него.

¶Тривиальные утверждения в математике

В математике тривиальными называют:

• Тождественно истинные утверждения — например, «любое число равно самому себе», «пустое множество содержится в любом множестве».
• Утверждения, доказываемые перебором конечного числа случаев — например, «любое простое число больше 2 нечётно».
• Следствия определений — например, «любая группа порядка 1 является циклической».
• Краевые случаи — например, «любое число делится на 1», «пустая функция единственно определена».

Оценка «тривиально» часто субъективна: то, что очевидно специалисту, может представлять трудность для студента. В учебной литературе принято избегать формулировки «тривиально» и приводить полное доказательство даже очевидных шагов.

¶Тривиальность в логике

В математической логике тривиальными называют:

• Тавтологии — формулы, истинные при любом наборе значений переменных (например, «A или не A»).
• Тривиальные модели — структуры с пустым носителем или с одним элементом, в которых многие теоремы выполняются автоматически.
• Тривиальные теории — теории, содержащие противоречие и потому доказывающие любое утверждение (по принципу «от ложного следует что угодно» — ex falso quodlibet).

Последний случай особенно важен: тривиальность теории в смысле непротиворечивости — необходимое условие её содержательности. Если теория противоречива, все её утверждения одновременно доказуемы и опровергаемы, что делает её бесполезной.

¶Тривиальность и нетривиальность

Противопоставление «тривиальное — нетривиальное» играет методологическую роль. Нетривиальными считаются результаты, требующие нетривиальных идей, конструкций или методов. Исторически известные нетривиальные результаты:

• Теорема Ферма (1995) — утверждение о неразрешимости уравнения $a^n + b^n = c^n$ при $n > 2$ в целых числах, доказанное Эндрю Уайлсом после многолетних усилий.
• Неравенство Пуанкаре — о том, что на замкнутой поверхности положительного рода нельзя глобально задать независимое поле векторов.
• Теорема о неподвижной точке Брауэра — утверждение о том, что непрерывное отображение шара в себя имеет неподвижную точку.

В учебной практике разграничение «тривиально / нетривиально» помогает определить, какие шаги доказательства требуют пояснения, а какие могут быть сжаты.

¶Тривиальность в других областях

• Компьютерные науки: тривиальный алгоритм — работающий, но заведомо неэффективный (например, перебор вместо динамического программирования). Тривиальная сложность O(1) — константная, не зависящая от размера входа.
• Философия: тривиализм — позиция, согласно которой определённые классы утверждений (например, моральные суждения) не несут содержательной информации.
• Социология: тривиализация — процесс сведения сложного явления к упрощённой, очевидной формулировке, что ведёт к потере содержания.

¶Критика

Ряд методологов указывает, что обозначение утверждения как «тривиального» может подавлять исследовательскую активность: поспешное признание проблемы тривиальной закрывает путь к её изучению. Известны случаи, когда «тривиальные» на первый взгляд задачи приводили к существенным результатам — например, проблема непрерывности гипотезы Кантора, долго считавшаяся второстепенной.

¶Примечания

В англоязычной математической литературе принято выражение «proof by intimidation» («доказательство запугиванием») — шутливое обозначение ситуации, когда автор заканчивает доказательство словами «остальное тривиально», оставляя читателю нетривиальную часть.