Тривиальность — понятие в логике и математике¶

Тривиальность — свойство утверждения, доказательства, объекта или решения, которое является очевидным, не содержащим существенной информации или получающимся без существенных усилий. Термин «тривиальный» (от лат. trivialis — «обычный, простой», буквально «находящийся на трёхдорожье», то есть на перекрёстке, доступный всем) широко применяется в математике, логике, философии, информатике и повседневной речи.

¶Математика и логика

В математике «тривиальным» называют утверждение, истинность которого следует непосредственно из определений и не требует доказательства. Тривиальными считаются, например, тождества вида $a = a$, утверждения «любое число равно самому себе» или пустые утверждения для пустого множества. В теории множеств множество, содержащее ровно один элемент, иногда называют тривиальным множеством; пустое множество также нередко относят к тривиальным объектам.

Тривиальность тесно связана с вырожденными случаями. Вырожденный случай — это предельный или вырожденный вариант объекта, у которого часть свойств исчезает (например, окружность как частный случай эллипса с нулём эксцентриситета). Такие случаи часто считаются тривиальными, хотя их исключение из общего утверждения может приводить к ошибкам: классическое правило «деления на ноль» возникает именно при тривиальном обнулении знаменателя.

В математических доказательствах различают тривиальные и нетривиальные случаи. Метод математической индукции, например, требует отдельно проверить базис (обычно тривиальный случай $n = 0$ или $n = 1$) и индуктивный шаг, который является нетривиальной частью рассуждения.

¶Информатика и программирование

В информатике тривиальными называют алгоритмы, решения или структуры данных, реализующие очевидный, наивный подход. Наивный алгоритм сортировки, например, пузырьковая сортировка, противопоставляется эффективным алгоритмам, таким как быстрая сортировка или сортировка слиянием. Тривиальное решение задачи о рюкзаке — перебор всех комбинаций — имеет экспоненциальную сложность и практически неприменимо для больших наборов данных.

В теории сложности вычислений тривиальными считаются задачи, решаемые за полиномиальное время, в частности класс P. Нетривиальность задачи часто связана с гипотезой P ≠ NP: доказательство того, что задача NP-полна, означает, что тривиального (полиномиального) решения для неё не существует, если гипотеза верна.

В программировании тривиальными называют пустые или почти пустые реализации интерфейсов, конструкторы по умолчанию, а также проверки условий, которые всегда истинны или всегда ложны. Тривиальная проверка на равенство двух идентичных объектов не несёт смысловой нагрузки.

¶Философия и логика

В аналитической философии тривиальными называют утверждения, которые не сообщают ничего нового о мире. Пример — аналитические высказывания, истинные по определению («все холостяки не женаты»). Логический позитивизм XX века критиковал метафизические утверждения именно как тривиальные или бессмысленные.

Понятие тривиальности связано с проблемой тавтологии. Тавтологическое высказывание истинно в любом возможном мире и потому, по мнению ряда философов, не имеет эмпирического содержания. Вместе с тем в математике тавтологии и тривиальные тождества играют важную роль как основания для построения аксиоматических систем.

¶Психология восприятия

Тривиальность воспринимается субъективно: одно и то же утверждение может быть тривиальным для эксперта и нетривиальным для новичка. В когнитивной психологии эффект «ознакомления» (mere exposure effect) показывает, что многократно встречавшиеся стимулы воспринимаются как более знакомые и, соответственно, более тривиальные. В педагогике проблема тривиальности связана с зоной ближайшего развития Л. С. Выготского: материал, находящийся ниже этой зоны, воспринимается учеником как тривиальный и не вызывает познавательного интереса.

¶Тривиальность и нетривиальность в науке

Научное открытие часто описывается как «нетривиальный результат». После открытия множество фактов, ранее считавшихся нетривиальными, приобретают статус тривиальных — это касается, например, шарообразности Земли, вращения планет вокруг Солнца, эволюции видов. Термин «тривиальный» в научном сообществе несёт оценочный оттенок: он указывает на отсутствие глубины, а не на ложность утверждения.

В математике существует понятие «тривиальная группа» — группа, состоящая из одного элемента. Такие объекты исключаются из рассмотрения в большинстве теорем, но их изучение важно для корректности формулировок: многие фундаментальные результаты формулируются с оговоркой «нетривиальная группа».

¶Использование в повседневной речи

Вне науки слово «тривиальный» употребляется в значении «мелкий, незначительный». Тривиальный конфликт — это ссора по незначительному поводу; тривиальная задача — задача, не требующая усилий. В юридическом языке термин встречается редко, но в теории права встречается понятие «тривиальное правонарушение» для обозначения деяний малой общественной опасности.

Источники:

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970.
• Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штейн К. Введение в алгоритмы. — М.: Вильямс, 2011.
• Карри Х. Основания математической логики. — М.: Наука, 1969.
• Выготский Л. С. Память и её развитие в детском возрасте // Собрание сочинений: в 6 т. — М., 1982.
• Гарднер М. Научно-фантастические задачи и головоломки. — М.: Мир, 1987.