Уравнение Уилера — ДеВитта¶

Уравнение Уилера — ДеВитта — это фундаментальное уравнение квантовой гравитации, которое описывает квантовое состояние Вселенной в рамках формализма канонического квантования общей теории относительности. Оно было независимо предложено физиками Брайсом ДеВиттом в 1967 году и Джоном Уилером (на основе более ранних идей). Уравнение представляет собой аналог уравнения Шрёдингера для гравитационного поля, но с ключевой особенностью: оно не содержит временной производной, что приводит к так называемой «проблеме времени» в квантовой космологии.

¶Историческая справка

Разработка уравнения Уилера — ДеВитта стала результатом попыток объединить общую теорию относительности (ОТО) с принципами квантовой механики. В 1950–1960-х годах физики, включая Ричарда Фейнмана и Чарльза Мизнера, пытались построить квантовую теорию гравитации. Джон Уилер, используя подход, основанный на геометродинамике, ввёл понятие «суперпространства» — бесконечномерного пространства всех возможных трёхмерных геометрий. Брайс ДеВитт, работая над каноническим квантованием гравитации, вывел уравнение, которое стало центральным в этом формализме.

В 1967 году ДеВитт опубликовал работу «Квантовая теория гравитации. I. Канонические методы», где впервые чётко сформулировал уравнение. Уилер, в свою очередь, развивал интерпретацию уравнения в контексте квантовой космологии, предполагая, что волновая функция Вселенной должна удовлетворять этому уравнению. Впоследствии уравнение стало основой для таких направлений, как петлевая квантовая гравитация и квантовая космология.

¶Математическая формулировка

Уравнение Уилера — ДеВитта записывается в виде:

\[ \hat{H} \Psi[h_{ij}, \phi] = 0 \]

где:

• \(\hat{H}\) — оператор гамильтоновой связи (гамильтониан), который включает в себя гравитационную и материальную части;
• \(\Psi\) — волновая функция Вселенной, зависящая от трёхмерной метрики \(h_{ij}\) и полей материи \(\phi\);
• \(h_{ij}\) — метрика на трёхмерном пространственном сечении (гиперповерхности);
• \(\phi\) — поля материи (например, скалярное поле).

Уравнение является результатом наложения гамильтоновой связи в каноническом формализме ОТО. В классической ОТО гамильтонова связь \(H = 0\) выражает условие, что общая теория относительности не зависит от выбора времени. При квантовании эта связь становится операторным уравнением на волновую функцию.

¶Компоненты оператора

Оператор \(\hat{H}\) состоит из двух частей:

• Гравитационная часть \(\hat{H}_g\): включает в себя оператор кинетической энергии гравитационного поля, который зависит от производных по метрике. В координатном представлении он имеет вид:

\[ \hat{H}_g = -G_{ijkl} \frac{\delta^2}{\delta h_{ij} \delta h_{kl}} + \sqrt{h} \, R^{(3)} \] где \(G_{ijkl}\) — метрика ДеВитта (суперметрика), \(R^{(3)}\) — трёхмерная скалярная кривизна, \(h\) — детерминант метрики.

• Материальная часть \(\hat{H}_m\): зависит от типа полей. Для скалярного поля \(\phi\) с потенциалом \(V(\phi)\) она записывается как:

\[ \hat{H}_m = -\frac{1}{2} \frac{\delta^2}{\delta \phi^2} + \frac{1}{2} h^{ij} \partial_i \phi \partial_j \phi + V(\phi) \]

¶Интерпретация и проблемы

¶Проблема времени

Главная особенность уравнения Уилера — ДеВитта — отсутствие явной зависимости от времени. В классической физике время является параметром, в квантовой механике — оператором (или параметром в уравнении Шрёдингера). В уравнении Уилера — ДеВитта волновая функция \(\Psi\) не эволюционирует во времени, а стационарна. Это приводит к проблеме времени: как определить течение времени в квантовой Вселенной, если уравнение не содержит временной переменной?

Существует несколько подходов к решению этой проблемы:

• Интерпретация «внутреннего времени»: время возникает как параметр, связанный с изменением некоторой степени свободы, например, размера Вселенной (масштабного фактора).
• Подход Хартла — Хокинга: волновая функция Вселенной определяется через интеграл по траекториям, где время вводится через мнимое время (евклидово пространство).
• Интерпретация «замороженного формализма»: время является иллюзией, а все события существуют одновременно в «блок-вселенной».

¶Проблема интерпретации волновой функции

Волновая функция \(\Psi\) в уравнении Уилера — ДеВитта не имеет стандартной вероятностной интерпретации, как в квантовой механике (квадрат модуля волновой функции даёт плотность вероятности). В квантовой гравитации отсутствует внешний наблюдатель, и интерпретация \(\Psi\) требует новых подходов. Одна из популярных интерпретаций — многомировая интерпретация Эверетта, где \(\Psi\) описывает суперпозицию всех возможных геометрий и конфигураций полей.

¶Проблема регуляризации

Уравнение Уилера — ДеВитта является функциональным дифференциальным уравнением в бесконечномерном пространстве, что приводит к математическим трудностям, связанным с расходимостями. Для его решения требуются методы регуляризации, например, использование решёточных подходов или техники перенормировки. В рамках петлевой квантовой гравитации удаётся частично избежать этих проблем, вводя дискретную структуру пространства-времени.

¶Применение в квантовой космологии

Уравнение Уилера — ДеВитта является основой для квантовой космологии — раздела физики, изучающего квантовые свойства Вселенной в целом. В упрощённых моделях (например, в модели Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера) уравнение сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое можно решить аналитически или численно.

¶Модель мини-суперпространства

В модели мини-суперпространства рассматриваются только однородные и изотропные степени свободы. В этом случае метрика задаётся масштабным фактором \(a(t)\), а волновая функция \(\Psi(a, \phi)\) зависит от \(a\) и скалярного поля \(\phi\). Уравнение Уилера — ДеВитта принимает вид:

\[ \left[ -\frac{\hbar^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial a^2} + \frac{\hbar^2}{2a^2} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} + a^2 V(\phi) - a \right] \Psi(a, \phi) = 0 \]

где \(\hbar\) — приведённая постоянная Планка. Это уравнение используется для описания квантового рождения Вселенной из «ничего» (модель Хартла — Хокинга) и для изучения инфляционной стадии.

¶Волновая функция Вселенной

Волновая функция \(\Psi\) в квантовой космологии интерпретируется как амплитуда вероятности для данной геометрии и конфигурации полей. В модели Хартла — Хокинга (1983) предлагается граничное условие, согласно которому волновая функция определяется интегралом по компактным евклидовым четырёхмерным многообразиям. Это условие приводит к предсказанию, что Вселенная возникла из квантовой флуктуации с определённым начальным состоянием.

¶Критика и альтернативы

Уравнение Уилера — ДеВитта сталкивается с рядом критических замечаний:

• Отсутствие экспериментальной проверки. Квантовая гравитация в целом не имеет прямых экспериментальных подтверждений, и уравнение остаётся чисто теоретическим конструктом.
• Математическая сложность. Уравнение является функциональным и не поддаётся точному решению в общем виде. Все известные решения получены лишь для упрощённых моделей.
• Проблема времени остаётся нерешённой, хотя существуют различные подходы к её интерпретации.

Альтернативными подходами к квантованию гравитации являются:

• Петлевая квантовая гравитация (Ли Смолин, Карло Ровелли и др.), где уравнение Уилера — ДеВитта заменяется на операторное уравнение в дискретном пространстве.
• Струнная теория, которая предлагает другой формализм, не использующий каноническое квантование.
• Подходы на основе интеграла по траекториям (например, евклидова квантовая гравитация).

¶Интересные факты

• Уравнение Уилера — ДеВитта иногда называют «уравнением Шрёдингера для Вселенной», хотя оно принципиально отличается отсутствием временной эволюции.
• В 1980-х годах Алексей Старобинский и Андрей Линде использовали уравнение для анализа квантовых флуктуаций в ранней Вселенной.
• Уравнение является центральным в концепции «квантовой смерти» и «квантового бессмертия» в многомировой интерпретации, хотя эти идеи остаются спекулятивными.

¶Источники

• DeWitt, B. S. (1967). Quantum Theory of Gravity. I. The Canonical Theory. Physical Review, 160(5), 1113–1148.
• Wheeler, J. A. (1968). Superspace and the Nature of Quantum Geometrodynamics. In Battelle Rencontres: 1967 Lectures in Mathematics and Physics.
• Hartle, J. B., & Hawking, S. W. (1983). Wave Function of the Universe. Physical Review D, 28(12), 2960–2975.
• Ровелли, К. (2004). Квантовая гравитация. Cambridge University Press.
• Мизнер, Ч., Торн, К., Уилер, Дж. (1973). Гравитация. W. H. Freeman and Company.