Ускорение Кориолиса в физике¶

Ускорение Кориолиса — составляющая ускорения точки во вращающейся системе отсчёта, возникающая при её движении относительно этой системы и направленная перпендикулярно вектору относительной скорости. Названо в честь французского механика и математика Гаспара Гюстава Кориолиса (1792–1843), описавшего эффект в 1835 году. Величина и направление ускорения зависят от угловой скорости вращения системы отсчёта, относительной скорости тела и её ориентации по отношению к оси вращения.

¶Определение и формула

В классической механике ускорение Кориолиса определяется векторным произведением:

a꜀ = 2 · (ω × vᵣ),

где ω — вектор угловой скорости вращения неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной, vᵣ — скорость тела относительно вращающейся системы (относительная скорость). Модуль ускорения равен:

a꜀ = 2 · ω · vᵣ · sin α,

где α — угол между векторами ω и vᵣ. Из формулы следуют важные свойства: ускорение максимально, когда относительная скорость перпендикулярна оси вращения (α = 90°), и равно нулю, когда тело движется вдоль оси вращения либо покоится относительно неё (vᵣ = 0).

Направление вектора a꜀ определяется правилом векторного произведения: он перпендикулярен плоскости, в которой лежат ω и vᵣ. В практических расчётах удобно пользоваться правилом правой руки или правилом винта.

¶Сила Кориолиса

Умножив ускорение на массу тела, получают силу Кориолиса:

F꜀ = 2 · m · (ω × vᵣ).

Эта сила относится к так называемым силам инерции: она не связана с взаимодействием тела с другими телами, а обусловлена выбором неинерциальной (вращающейся) системы отсчёта. В инерциальной системе отсчёта никакой силы Кориолиса нет — там движение описывается вторым законом Ньютона без дополнительных членов. Сила Кориолиса совершает работу только при наличии составляющей перемещения вдоль её направления, однако в большинстве задач она перпендикулярна относительной скорости и работы над телом не совершает, изменяя лишь направление движения.

¶Вывод и место в кинематике

При переходе от инерциальной системы к системе, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω, абсолютная скорость точки складывается из относительной скорости и переносной скорости вращения:

v = vᵣ + (ω × r).

Дифференцирование этого выражения по времени даёт абсолютное ускорение, которое распадается на три слагаемых: относительное ускорение, переносное ускорение (включающее центростремительную и тангенциальную части) и перекрёстный член — удвоенное векторное произведение ω × vᵣ. Именно этот перекрёстный член и называют ускорением Кориолиса. Множитель 2 возникает потому, что вращение системы влияет на движение двояко: меняет направление относительной скорости и одновременно изменяет переносную скорость точки из-за её смещения.

¶Проявления на Земле

Земля вращается вокруг своей оси с угловой скоростью примерно 7,29·10⁻⁵ рад/с (один оборот за звёздные сутки). Этого достаточно, чтобы эффект Кориолиса был заметен в движениях, длящихся часами и охватывающих большие расстояния.

• Маятник Фуко. Плоскость колебаний маятника медленно поворачивается относительно земной поверхности; в Северном полушарии — по часовой стрелке, в Южном — против. Впервые публичный опыт провёл Жан Бернар Леон Фуко в Париже в 1851 году.
• Циклоны и антициклоны. В Северном полушарии воздушные массы в циклонах закручиваются против часовой стрелки, в Южном — по часовой. Это следствие отклоняющего действия силы Кориолиса на движущиеся воздушные потоки.
• Реки и морские течения. Подмыв правого берега рек в Северном полушарии (закон Бэра) и левого — в Южном связывают с действием силы Кориолиса на течение воды.
• Артиллерия и баллистика. При стрельбе на большие дистанции траектория снаряда отклоняется вправо в Северном полушарии и влево в Южном; поправку учитывают в таблицах стрельбы.
• Железнодорожные пути. Износ рельсов на двухпутных участках в Северном полушарии больше на правой по ходу движения колее.

Эффект Кориолиса на Земле мал по сравнению с силой тяжести: на широте Москвы для тела, движущегося со скоростью 100 м/с, ускорение Кориолиса составляет порядка 10⁻³ м/с², что примерно в 10 000 раз меньше ускорения свободного падения.

¶Применение в технике

• Гироскопические приборы. В гирокомпасах и инерциальных навигационных системах ускорение Кориолиса используется для определения курса и угловой скорости.
• Расходомеры Кориолиса. В трубке, через которую течёт жидкость, при наложении колебаний возникает кориолисово смещение, пропорциональное массовому расходу. Такие расходомеры применяются в нефтегазовой, химической и пищевой промышленности.
• Вибрационные гироскопы (MEMS). Микроэлектромеханические датчики угловой скорости регистрируют смещение колеблющейся массы под действием силы Кориолиса; используются в смартфонах, автомобильных системах стабилизации, дронах.
• Метеорология и океанология. Уравнения геофизической гидродинамики включают параметр Кориолиса; на нём основаны модели общей циркуляции атмосферы и океана.

¶Связь с другими понятиями

Ускорение Кориолиса тесно связано с центробежной силой и переносным ускорением: все они появляются при описании движения в неинерциальных системах отсчёта. В геофизике вводится параметр Кориолиса f = 2·ω·sin φ (φ — широта), а также безразмерное число Россби, характеризующее соотношение инерционных и кориолисовых сил в потоке. В общей теории относительности и в релятивистской механике понятие обобщается через символы Кристоффеля, описывающие искривление координат.

¶Историческая справка

Отклоняющее действие вращения Земли на движущиеся тела обсуждал ещё Пьер-Симон Лаплас и другие учёные XVIII века. Кориолис в работе 1835 года «О уравнениях относительного движения систем тел» ввёл понятие составного центробежного ускорения, позже названного его именем. Термин «сила Кориолиса» закрепился в механике во второй половине XIX века. В России эффект исследовался в связи с баллистикой и геодезией; в советский период значительный вклад в теорию гироскопических приборов, использующих ускорение Кориолиса, внесли школы под руководством Б. В. Булгакова, А. Ю. Ишлинского и других учёных.

Источники: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Механика»; Сивухин Д. В. «Общий курс физики»; Тарг С. М. «Краткий курс теоретической механики»; Матвеев А. Н. «Механика и теория относительности»; материалы по геофизической гидродинамике и инерциальной навигации.