Вероятность орла в двух бросках монеты¶
Вероятность орла 1 раз при двух бросках симметричной монеты — классическая задача теории вероятностей, в которой требуется найти вероятность события «орёл выпадает ровно один раз за два броска симметричной монеты». Решение задачи опирается на определение равновозможных исходов, формулу сложения вероятностей и биномиальное распределение. Искомая вероятность равна 0,5 (или 50 %).
¶Исходная задача
Пусть симметричная монета (у которой вероятность выпадения орла и решки равна 1/2) бросается дважды. Требуется найти вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
Ключевые свойства задачи:
- монета симметричная, то есть P(орёл) = P(решка) = 1/2;
- броски независимы: результат одного броска не влияет на результат другого;
- всего возможно 2 × 2 = 4 исхода, и все они равновозможны.
¶Пространство элементарных исходов
Обозначим появление орла буквой О, а решки — Р. Тогда все возможные исходы двух бросков записываются как упорядоченные пары:
| Исход | Первый бросок | Второй бросок |
|---|---|---|
| 1 | О | О |
| 2 | О | Р |
| 3 | Р | О |
| 4 | Р | Р |
Каждый из четырёх исходов имеет вероятность (1/2) × (1/2) = 1/4, поскольку броски независимы. Сумма вероятностей всех исходов равна 4 × 1/4 = 1, что подтверждает корректность модели.
¶Решение
Событие «орёл выпадает ровно один раз» состоит из двух элементарных исходов: (О, Р) и (Р, О). Оба исхода благоприятны, остальные два — нет.
По определению вероятности события, состоящего из нескольких несовместных исходов:
P(орёл ровно 1 раз) = P(О, Р) + P(Р, О) = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2.
Таким образом, искомая вероятность равна 0,5, или 50 %.
¶Решение через биномиальную формулу
Задача является частным случаем биномиального распределения. Если проводится n независимых испытаний, в каждом из которых «успех» (появление орла) имеет вероятность p, то вероятность k успехов в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k),
где C(n, k) — число сочетаний из n по k.
В исходной задаче n = 2, k = 1, p = 1/2. Число сочетаний C(2, 1) = 2. Подставляя значения:
P(X = 1) = 2 · (1/2)^1 · (1/2)^1 = 2 · 1/4 = 1/2.
Результат совпадает с решением, полученным перебором исходов.
¶Связанные величины
Для полноты картины приведём вероятности всех возможных событий при двух бросках симметричной монеты:
| Событие | Исходы | Вероятность |
|---|---|---|
| Два орла | (О, О) | 1/4 |
| Ровно один орёл | (О, Р), (Р, О) | 1/2 |
| Две решки | (Р, Р) | 1/4 |
| Хотя бы один орёл | (О, О), (О, Р), (Р, О) | 3/4 |
| Нет ни одного орла | (Р, Р) | 1/4 |
Среднее число орлов за два броска (математическое ожидание) равно n · p = 2 · 1/2 = 1. Дисперсия равна n · p · (1 − p) = 2 · 1/2 · 1/2 = 1/2.
¶Обобщение
Для n бросков симметричной монеты вероятность того, что орёл выпадет ровно k раз, вычисляется по формуле:
P(X = k) = C(n, k) · (1/2)^n.
При n = 2 и k = 1 это даёт C(2, 1) · (1/2)^2 = 2/4 = 1/2. При нечётном n максимальная вероятность приходится на k = (n − 1)/2 и k = (n + 1)/2, при чётном — на k = n/2. При n = 2 искомое событие (k = 1) как раз является наиболее вероятным: его вероятность вдвое превышает вероятность любого другого конкретного исхода.
¶Применение
Задачи о бросках монеты служат базовым примером при изучении теории вероятностей и математической статистики. На их основе вводятся понятия равновозможных исходов, сложения вероятностей несовместных событий, независимых испытаний и биномиального распределения. Модель бросков монеты применяется как эталон случайного процесса при проверке статистических гипотез, оценке достоверности выборочных данных и построении простейших генераторов случайных чисел.