Виды последовательностей в математике¶

Последовательность — это упорядоченный набор элементов, в котором для каждого элемента указано его место (номер). Формально последовательность задаётся функцией, областью определения которой служит множество натуральных чисел (или его подмножество), а значениями — элементы некоторого множества. В математике различают несколько оснований для классификации последовательностей: характер множества значений, поведение членов при росте номера, способ задания и наличие предела.

¶По характеру значений

¶Числовые последовательности

Наиболее распространённый вид — числовые последовательности, члены которых являются числами. Пример: 1, 4, 9, 16, 25, … (квадраты натуральных чисел). Числовая последовательность обозначается как $(a_n)$, где $a_n$ — общий член, а $n$ — его номер.

¶Функциональные и иные последовательности

Если элементы принадлежат не числовому множеству, говорят о последовательностях функций, векторов, матриц, множеств или символов. Например, последовательность многочленов или последовательность строк в информатике.

¶По способу задания

• Аналитический способ — общий член выражен формулой: $a_n = n^2 + 1$.
• Рекуррентный способ — каждый член выражается через предыдущие. Классический пример — числа Фибоначчи: $a_1 = a_2 = 1$, $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$.
• Описательный (словесный) способ — правило перечисления задано текстом, например последовательность простых чисел.
• Табличный способ — значения выписаны в виде таблицы.

¶По поведению при возрастании номера

¶Монотонные последовательности

Последовательность называется возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего ($a_{n+1} > a_n$), и убывающей, если меньше. Неубывающие и невозрастающие объединяют термином «монотонные». Монотонность — важное условие сходимости: ограниченная монотонная последовательность всегда имеет предел.

¶Ограниченные последовательности

Последовательность ограничена сверху, если существует число $M$, такое что $a_n \le M$ для всех $n$; ограничена снизу — если $a_n \ge m$. Ограниченная с обеих сторон называется просто ограниченной.

¶По наличию предела

¶Сходящиеся последовательности

Последовательность сходится, если существует число $a$, к которому члены неограниченно приближаются: для любого $\varepsilon > 0$ найдётся номер, начиная с которого $|a_n - a| < \varepsilon$. Число $a$ называют пределом. Пример: $a_n = 1/n$ сходится к нулю.

¶Расходящиеся последовательности

Если предела не существует, последовательность расходится. Расходимость бывает двух типов: стремление к бесконечности (например, $a_n = n$) и отсутствие какого-либо предела (например, $a_n = (-1)^n$, колеблющаяся последовательность).

¶Бесконечно большие и бесконечно малые

Бесконечно малая последовательность стремится к нулю; бесконечно большая — неограниченно возрастает по модулю. Эти понятия лежат в основе теории пределов.

¶Специальные виды

Фундаментальные (или последовательности Коши) играют ключевую роль в построении вещественных чисел: полное метрическое пространство — то, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится.

¶Применение

Виды последовательностей используются в математическом анализе (определение предела, непрерывности, производной), в теории вероятностей (последовательности случайных величин), в численных методах (итерационные последовательности, сходящиеся к решению уравнения), в дискретной математике и программировании (массивы, потоки данных). Классификация по сходимости и монотонности позволяет доказывать существование пределов, не вычисляя их явно.

¶Источники

• Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления»
• Зорич В. А. «Математический анализ»
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. «Основы математического анализа»
• Кудрявцев Л. Д. «Курс математического анализа»