Выборочное среднее арифметическое

Выборочное среднее арифметическое — это статистическая характеристика, представляющая собой сумму всех значений выборки, делённую на количество этих значений. Является одной из наиболее распространённых мер центральной тенденции, используемой для описания типичного значения в наборе данных. В отличие от генерального среднего, которое относится ко всей совокупности, выборочное среднее вычисляется на основе подмножества данных (выборки) и служит оценкой генерального параметра.

Определение и обозначение

Пусть имеется выборка, состоящая из \( n \) наблюдений: \( x_1, x_2, \dots, x_n \). Выборочное среднее арифметическое \( \bar{x} \) (читается «икс с чертой») определяется по формуле:

\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

где \( \sum_{i=1}^{n} x_i \) — сумма всех элементов выборки, а \( n \) — объём выборки.

В математической статистике выборочное среднее является несмещённой и состоятельной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. Для обозначения генерального среднего (математического ожидания) обычно используется греческая буква \( \mu \).

Свойства

Основные свойства

• Линейность: Если к каждому элементу выборки прибавить константу \( c \), то среднее увеличится на \( c \). Если каждый элемент умножить на константу \( k \), то среднее умножится на \( k \).
• Сумма отклонений: Сумма отклонений всех значений выборки от выборочного среднего равна нулю: \( \sum_{i=1}^{n} (x_i — \bar{x}) = 0 \).
• Минимизация суммы квадратов: Для любого числа \( a \) выполняется неравенство: \( \sum_{i=1}^{n} (x_i — \bar{x})^2 \leq \sum_{i=1}^{n} (x_i — a)^2 \). То есть среднее арифметическое минимизирует сумму квадратов отклонений.

Статистические свойства

• Несмещённость: Математическое ожидание выборочного среднего равно генеральному среднему: \( E(\bar{x}) = \mu \).
• Состоятельность: При увеличении объёма выборки \( n \) выборочное среднее сходится по вероятности к генеральному среднему \( \mu \).
• Эффективность: Для нормально распределённых данных выборочное среднее является эффективной оценкой (имеет минимальную дисперсию среди всех несмещённых оценок).

Виды и модификации

Взвешенное среднее арифметическое

Используется, когда отдельные наблюдения имеют разную важность или частоту. Формула:

\[ \bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]

где \( w_i \) — вес i-го наблюдения. Применяется в демографии (средний возраст по группам), экономике (средняя цена с учётом объёмов продаж) и других областях.

Усечённое среднее (trimmed mean)

Вычисляется после отбрасывания определённой доли наименьших и наибольших значений. Используется для уменьшения влияния выбросов. Например, 10%-ное усечённое среднее отбрасывает по 10% значений с каждого конца выборки.

Среднее по интервальному ряду

Если данные сгруппированы в интервалы, среднее вычисляется по серединам интервалов, взвешенным по частотам. Этот метод даёт приближённое значение.

Применение

В науке и технике

• Физика и инженерия: Обработка результатов измерений. Выборочное среднее используется для уменьшения случайной погрешности при многократных измерениях одной и той же величины.
• Биология и медицина: Определение средних показателей (рост, вес, давление) в группах пациентов или подопытных животных.
• Социология и психология: Расчёт средних баллов тестов, среднего возраста респондентов, среднего дохода.

В экономике и финансах

• Средняя заработная плата: Вычисляется как среднее арифметическое зарплат работников предприятия или отрасли.
• Средняя доходность: Средняя арифметическая доходность инвестиционного портфеля за несколько периодов.
• Индексы цен: Некоторые индексы (например, простой индекс цен) рассчитываются как среднее арифметическое относительных цен.

В повседневной жизни

• Средняя оценка: Средний балл успеваемости студента.
• Средняя температура: Среднесуточная, среднемесячная температура воздуха.
• Средний расход топлива: Среднее арифметическое расхода за несколько поездок.

Ограничения и критика

Чувствительность к выбросам

Выборочное среднее арифметическое крайне чувствительно к экстремальным значениям. Одно аномально большое или малое значение может существенно исказить результат. Например, средняя зарплата в компании, где большинство сотрудников получает 50 000 рублей, а директор — 5 000 000 рублей, будет значительно выше реального типичного дохода. В таких случаях более устойчивыми мерами являются медиана или усечённое среднее.

Неприменимость для номинальных данных

Среднее арифметическое нельзя вычислять для качественных (номинальных) данных, таких как пол, национальность, марка автомобиля. Для таких данных используются мода или частотные распределения.

Игнорирование распределения

Среднее арифметическое не даёт информации о форме распределения данных. Два набора данных с одинаковым средним могут иметь совершенно разную вариативность (дисперсию). Например, набор {1, 2, 3, 4, 5} и набор {3, 3, 3, 3, 3} имеют одинаковое среднее (3), но различаются по разбросу.

Неустойчивость для малых выборок

При малом объёме выборки (n < 10) выборочное среднее может сильно отличаться от генерального среднего. Для надёжных выводов требуется достаточный объём данных.

Связь с другими статистическими показателями

• Медиана: Для симметричных распределений среднее и медиана совпадают. Для асимметричных — среднее смещается в сторону «хвоста» распределения.
• Мода: Для унимодальных симметричных распределений среднее, медиана и мода равны.
• Дисперсия и стандартное отклонение: Выборочное среднее используется для расчёта выборочной дисперсии: \( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i — \bar{x})^2 \).
• Коэффициент вариации: Отношение стандартного отклонения к среднему, выраженное в процентах.

История

Понятие среднего арифметического известно с древности. Древнегреческие математики, такие как Пифагор и его последователи, изучали различные виды средних (арифметическое, геометрическое, гармоническое). В «Началах» Евклида встречаются задачи, связанные с нахождением среднего.

В XVII веке среднее арифметическое стало активно использоваться в астрономии и геодезии для обработки наблюдений. Английский астроном Томас Харриот (1560–1621) применял его для усреднения результатов измерений. Французский математик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) и немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) заложили теоретические основы метода наименьших квадратов, в котором среднее арифметическое играет центральную роль.

В XIX веке среднее арифметическое стало широко применяться в социальной статистике (Адольф Кетле, 1796–1874) и в психологии (Фрэнсис Гальтон, 1822–1911). В XX веке с развитием математической статистики были строго обоснованы свойства выборочного среднего как оценки генерального параметра.

Примеры вычисления

Пример 1. Оценки студента по пяти предметам: 4, 5, 3, 4, 5. Выборочное среднее: \( \bar{x} = (4+5+3+4+5)/5 = 21/5 = 4.2 \).

Пример 2. Время выполнения задания (в минутах) для 10 испытуемых: 12, 15, 14, 13, 16, 11, 15, 14, 13, 12. Сумма = 135, n = 10, \( \bar{x} = 13.5 \) минут.

Пример 3. Взвешенное среднее. В трёх группах студентов средний балл: 4.0 (20 человек), 3.5 (30 человек), 4.5 (10 человек). Общее среднее: \( \bar{x}_w = (4.0 \times 20 + 3.5 \times 30 + 4.5 \times 10) / (20+30+10) = (80+105+45)/60 = 230/60 \approx 3.83 \).

Источники

• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 2003.
• Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Юнити-Дана, 2004.
• Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009.
• Орлов А. И. Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2004.
• Эфрон Б., Тибширани Р. Введение в бустреп-статистику. — М.: Финансы и статистика, 1993.