Закон исключённого третьего

Закон исключённого третьего (лат. tertium non datur — «третьего не дано») — один из фундаментальных законов классической логики, утверждающий, что для любого логически осмысленного высказывания (суждения) истинно либо оно само, либо его отрицание; третьего варианта (истинности в каком-то ином смысле) не существует. В формальной записи закон выражается формулой A ∨ ¬A (читается: «A или не A»), где A — произвольное высказывание, а ¬ — знак логического отрицания. Закон исключённого третьего является одним из трёх классических законов мышления наряду с законом тождества и законом непротиворечия, однако его статус и область применения вызывают дискуссии в неклассических логиках (например, в интуиционистской и многозначной).

История

Античность

Впервые закон исключённого третьего в явном виде сформулировал Аристотель в трактате «Метафизика». Он писал: «Не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать». Аристотель рассматривал этот закон как фундаментальный принцип бытия и мышления, не требующий доказательства, поскольку его отрицание ведёт к логическому хаосу.

Средневековье

Схоластические логики (например, Пётр Испанский, Уильям Оккам) развили аристотелевскую логику, включив закон исключённого третьего в число базовых правил формального доказательства. В этот период закон применялся в теологических спорах, в частности, для обоснования догматов о предопределении и свободе воли.

Новое время

В XVII—XIX веках закон исключённого третьего стал неотъемлемой частью математической логики. Готфрид Лейбниц сформулировал его как один из принципов «всеобщей характеристики» (characteristica universalis). В «Логико-философском трактате» Людвига Витгенштейна закон рассматривается как тавтология, не несущая содержательной информации, но задающая структуру языка.

XX век и критика

В начале XX века Л. Э. Я. Брауэр, основатель интуиционизма, подверг сомнению универсальность закона исключённого третьего. Он утверждал, что для бесконечных множеств или неразрешимых утверждений (например, гипотеза Гольдбаха) закон не может быть применён, пока не построено конструктивное доказательство или опровержение. Это привело к созданию интуиционистской логики, в которой закон исключённого третьего не принимается как аксиома.

Формулировка и логический смысл

Классическая логика

В классической двузначной логике (где каждое высказывание истинно или ложно) закон исключённого третьего является тавтологией — истинным при любых значениях истинности переменных. Он эквивалентен принципу tertium non datur и тесно связан с законом двойного отрицания (¬¬A → A). Вместе с законом непротиворечия (¬(A ∧ ¬A)) закон исключённого третьего обеспечивает полноту классической логики: любое высказывание либо истинно, либо ложно, и третьего не дано.

Связь с законом непротиворечия

Закон непротиворечия запрещает одновременную истинность A и ¬A, а закон исключённого третьего утверждает, что хотя бы одно из них истинно. Вместе они образуют принцип бивалентности: каждое высказывание имеет ровно одно значение истинности (истина или ложь).

Критика и альтернативные подходы

Интуиционистская логика

Интуиционисты (Брауэр, Гейтинг, Колмогоров) отвергают закон исключённого третьего для высказываний о бесконечных объектах. Например, утверждение «В десятичном разложении числа π встречается последовательность 123456789» не может быть ни доказано, ни опровергнуто в рамках интуиционистской математики, поэтому закон к нему не применяется. В интуиционистской логике формула A ∨ ¬A не является тавтологией; вместо неё используется более слабое правило: если доказано ¬(A ∧ ¬A), то это не влечёт A ∨ ¬A.

Многозначные логики

В логиках с тремя и более значениями истинности (например, логика Лукасевича, логика Клини) закон исключённого третьего перестаёт действовать. В трёхзначной логике высказывание может быть истинным, ложным или неопределённым. Для неопределённых высказываний A ∨ ¬A также неопределённо, а не истинно.

Паранепротиворечивые логики

В паранепротиворечивых логиках (например, логика да Косты) допускается, что A и ¬A могут быть одновременно истинны (для противоречивых ситуаций). Закон исключённого третьего в таких системах обычно сохраняется, но теряет силу закон непротиворечия.

Применение в математике и информатике

Математические доказательства

Закон исключённого третьего лежит в основе метода доказательства от противного: если из предположения ¬A выводится противоречие, то заключают, что A истинно. Этот метод широко используется в классической математике, но отвергается интуиционистами, требующими конструктивного доказательства.

Теория алгоритмов

В информатике закон исключённого третьего связан с проблемой разрешимости. Для алгоритмически неразрешимых задач (например, проблема остановки) невозможно определить, истинно ли утверждение «алгоритм завершит работу» или его отрицание. В таких случаях закон не применим, что привело к созданию конструктивных логик в программировании.

Логическое программирование

В языках логического программирования (например, Prolog) закон исключённого третьего реализуется через принцип «отрицание как неудача»: если факт не может быть выведен из базы знаний, он считается ложным. Однако это не является строгим логическим отрицанием, а лишь эвристикой, основанной на замкнутости мира.

Примеры и парадоксы

Парадокс лжеца

Высказывание «Это утверждение ложно» порождает парадокс: если оно истинно, то оно ложно, и наоборот. Закон исключённого третьего в данном случае не работает, так как высказывание не имеет определённого значения истинности. Этот парадокс привёл к созданию многоуровневых логик (теория типов Рассела, иерархии Тарского).

Гипотеза Гольдбаха

Гипотеза о том, что любое чётное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел, не доказана и не опровергнута. С точки зрения классической логики, она либо истинна, либо ложна, но интуиционисты считают, что до построения доказательства или контрпримера закон исключённого третьего к ней неприменим.

Значение в философии

Метафизика

Закон исключённого третьего часто рассматривается как принцип детерминизма: любое положение дел либо существует, либо не существует. В философии (например, у Гегеля) этот закон критиковался за игнорирование диалектических противоречий и становления.

Эпистемология

В теории познания закон исключённого третьего связан с принципом бивалентности: знание может быть либо истинным, либо ложным. Однако в эпистемологии существуют концепции «неопределённого знания» (например, агностицизм), где третье состояние допускается.

Интересные факты

• В русской логической традиции закон исключённого третьего иногда называют «законом исключённого третьего» (в отличие от «закона исключённого третьего» в западной терминологии — law of excluded middle).
• В квантовой механике принцип суперпозиции состояний (квантовая система может находиться одновременно в нескольких состояниях) иногда интерпретируется как нарушение закона исключённого третьего на микроуровне, хотя это скорее относится к интерпретации измерений, а не к логике.
• В 1930-е годы советский математик Андрей Колмогоров дал интуиционистскую интерпретацию логики, в которой закон исключённого третьего заменяется более слабым принципом «двойного отрицания».

Источники

• Аристотель. Метафизика. Книга IV (Гамма), глава 7.
• Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. — М.: Наука, 1965.
• Клини С. К. Введение в метаматематику. — М.: Иностранная литература, 1957.
• Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. — М.: Иностранная литература, 1959.
• Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. — М.: Канон+, 2008.