Жозеф-Луи Лагранж¶

Жозеф-Луи Лагранж (итал. Giuseppe Luigi Lagrangia, фр. Joseph-Louis Lagrange; 25 января 1736, Турин, Сардинское королевство — 10 апреля 1813, Париж, Франция) — французский математик, астроном и механик итальянского происхождения, один из крупнейших учёных XVIII века. Внёс фундаментальный вклад в теорию чисел, алгебру, вариационное исчисление, аналитическую механику и небесную механику. Член Парижской, Берлинской и Петербургской академий наук, иностранный член Лондонского королевского общества.

¶Биография

¶Ранние годы и образование

Лагранж родился в Турине, столице Сардинского королевства, в семье обедневшего дворянина. Его отец, Жозеф-Луи Лагранж-старший, служил казначеем военного ведомства, но потерял состояние из-за неудачных спекуляций. Мать, Мария-Тереза Гро, происходила из семьи врачей. Первоначально Лагранж изучал право в Туринском университете, следуя желанию отца, но увлёкся математикой после прочтения работ Эдмунда Галлея. В 1754 году, в возрасте 18 лет, он опубликовал свою первую научную работу — письмо о методе максимумов и минимумов, основанном на идеях Готфрида Лейбница.

¶Профессор в Турине (1755–1766)

В 1755 году Лагранж стал профессором математики в Королевской артиллерийской школе Турина. В этот период он основал Туринскую академию наук и начал издавать её труды. В 1756 году он отправил Леонарду Эйлеру решение изопериметрической задачи, что привело к началу их многолетней переписки. В 1759 году Лагранж опубликовал работу «О колебаниях струн», в которой предложил новый метод решения волнового уравнения, вызвавший дискуссию с Жаном Лероном Д’Аламбером.

¶Берлинский период (1766–1787)

В 1766 году по рекомендации Эйлера и Д’Аламбера Лагранж был приглашён Фридрихом II в Берлинскую академию наук, где занял пост директора математического отделения, освободившийся после отъезда Эйлера в Петербург. В Берлине он прожил 21 год, создав свои главные труды: «Аналитическую механику» (1788) и серию мемуаров по теории чисел, алгебре и небесной механике. В 1783 году он был избран иностранным членом Петербургской академии наук.

¶Парижский период (1787–1813)

После смерти Фридриха II Лагранж переехал в Париж, где стал членом Парижской академии наук. В период Французской революции он оставался в стороне от политики, занимаясь научной работой. В 1793 году, во время террора, он был назначен членом Комиссии по введению метрической системы мер и весов. В 1795 году стал первым профессором математики в недавно основанной Нормальной школе, а затем — в Политехнической школе. В 1797 году опубликовал «Теорию аналитических функций», заложившую основы математического анализа без использования бесконечно малых. В 1813 году, после продолжительной болезни, Лагранж скончался в Париже. Похоронен в Пантеоне.

¶Научные достижения

¶Математический анализ

Лагранж внёс решающий вклад в формализацию математического анализа. В «Теории аналитических функций» (1797) он предложил определение производной как коэффициента при линейном члене в разложении функции в степенной ряд, отказавшись от понятия бесконечно малых. Этот подход, известный как «лагранжев формализм», стал основой для строгого изложения анализа в XIX веке. Он также ввёл обозначение производной штрихом (f'(x)) и разработал метод вариации произвольных постоянных для решения дифференциальных уравнений.

¶Вариационное исчисление

Лагранж считается одним из основателей вариационного исчисления. В 1755 году, в возрасте 19 лет, он вывел общее уравнение для экстремалей функционалов, известное как уравнение Эйлера — Лагранжа. В 1762 году он опубликовал мемуар «Опыт нового метода для определения максимумов и минимумов определённых интегралов», где систематически изложил основы вариационного исчисления. Этот метод стал ключевым для классической механики и физики.

¶Аналитическая механика

Главный труд Лагранжа — «Аналитическая механика» (первое издание 1788, второе — 1811–1815). В этой книге он изложил механику как раздел математического анализа, полностью отказавшись от геометрических построений, характерных для работ Исаака Ньютона и Эйлера. Лагранж ввёл понятие обобщённых координат и обобщённых сил, вывел уравнения движения в форме, названной впоследствии уравнениями Лагранжа второго рода. Он также сформулировал принцип наименьшего действия в вариационной форме.

¶Теория чисел

Лагранж внёс фундаментальный вклад в теорию чисел. В 1770 году он доказал теорему о том, что любое натуральное число представимо в виде суммы четырёх квадратов целых чисел (теорема Лагранжа о четырёх квадратах). Он также доказал теорему Вильсона (n — простое число тогда и только тогда, когда (n-1)! + 1 делится на n) и исследовал непрерывные дроби, разработав метод решения уравнений Пелля. В 1771 году он доказал теорему о том, что порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок самой группы (теорема Лагранжа в теории групп).

¶Алгебра

В алгебре Лагранж в 1770–1771 годах опубликовал мемуар «Размышления об алгебраическом решении уравнений», в котором исследовал условия разрешимости уравнений в радикалах. Он ввёл понятие резольвенты и показал, что общее уравнение степени выше четвёртой не может быть решено в радикалах теми же методами, что и уравнения низших степеней. Эта работа стала предшественницей теории Галуа.

¶Небесная механика

Лагранж внёс значительный вклад в небесную механику. В 1772 году он опубликовал работу «О задаче трёх тел», в которой нашёл точные решения для случая, когда три тела находятся в вершинах равностороннего треугольника (точки Лагранжа). Он также исследовал устойчивость Солнечной системы, разработал теорию возмущений планетных орбит и вычислил либрацию Луны. В 1784 году он опубликовал работу о движении комет.

¶Основные труды

• «Аналитическая механика» (Mécanique analytique, 1788)
• «Теория аналитических функций» (Théorie des fonctions analytiques, 1797)
• «Лекции по исчислению функций» (Leçons sur le calcul des fonctions, 1806)
• «О решении численных уравнений» (Traité de la résolution des équations numériques, 1798)
• Мемуары по теории чисел, вариационному исчислению, небесной механике (всего более 100 работ)

¶Признание и память

Именем Лагранжа названы:

• Уравнения Лагранжа (в механике и вариационном исчислении)
• Точки Лагранжа (в небесной механике)
• Теорема Лагранжа (в теории чисел и теории групп)
• Интерполяционная формула Лагранжа
• Метод множителей Лагранжа (в оптимизации)
• Лагранжиан (функция в классической механике и квантовой теории поля)
• Кратер на Луне (Лагранж, диаметр 160 км)
• Астероид (1006) Лагранжа
• Улицы в Париже, Турине и других городах

Лагранж был награждён орденом Почётного легиона (1808) и удостоен титула графа Империи (1808). Его имя выбито на Эйфелевой башне в списке 72 величайших учёных Франции.

¶Интересные факты

• Лагранж страдал от хронической депрессии и часто жаловался на упадок сил, однако сохранял работоспособность до последних дней.
• Он был одним из немногих учёных, кто избежал репрессий во время Французской революции, несмотря на близость к королевскому двору.
• Лагранж не имел детей, но усыновил племянницу своей жены.
• Его работа «Аналитическая механика» была написана без единого чертежа — все выводы были чисто аналитическими.
• Лагранж был учителем и наставником многих выдающихся математиков, включая Симеона Дени Пуассона и Жана-Батиста Фурье.

¶Источники

• Белл Э. Т. Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979.
• Математика XVIII столетия / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1972.
• Lagrange J.-L. Œuvres complètes, 14 vols. — Paris: Gauthier-Villars, 1867–1892.
• Fraser C. G. Joseph Louis Lagrange: A Biography. — Springer, 1997.
• Тихомиров В. М. Великие математики прошлого и их великие теоремы. — М.: МЦНМО, 2003.