Знаки плюс и минус в математике¶

Плюс и минус — математические знаки, обозначающие соответственно операции сложения и вычитания, а также положительную и отрицательную величину числа. Символы «+» и «−» относятся к базовым элементам математической нотации и используются практически во всех разделах математики, физики, экономики и программирования. В широком смысле словами «плюс» и «минус» называют также достоинства и недостатки какого-либо объекта или явления.

¶Происхождение знаков

Знак «+» впервые встречается в европейских рукописях XV века как сокращение латинского союза «et» («и»). В печатных книгах он появился около 1489 года в труде немецкого математика Иоганна Видмана «Быстрый и красивый счёт для всех торговых дел», где использовался для обозначения избытка и недостатка в торговых расчётах. Знак «−» первоначально обозначал меру веса при продаже товара.

В России знаки «+» и «−» вошли в употребление в XVIII веке вместе с распространением европейских учебников арифметики. В «Арифметике» Леонтия Магницкого (1703) операции описывались словами, а символическая запись закрепилась позднее, в трудах российских математиков XVIII—XIX веков.

¶Арифметическое значение

В арифметике знаки обозначают две основные операции:

• Сложение — бинарная операция, результатом которой является сумма: a + b.
• Вычитание — операция, обратная сложению: a − b.

Оба действия обладают свойствами, изучаемыми в алгебре: сложение коммутативно и ассоциативно, имеет нейтральный элемент (ноль) и обратные элементы (противоположные числа). Вычитание коммутативным не является.

¶Знак числа

Отдельное значение знаков — указание на знак числа. Положительные числа записываются со знаком «+» или без него, отрицательные — обязательно со знаком «−». Ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Понятие отрицательного числа исторически складывалось медленно: в древнекитайской математике отрицательные величины обозначали чёрными палочками, а положительные — красными; в Европе их долго считали «ложными».

¶Правило знаков

При умножении и делении действует правило знаков:

Это правило лежит в основе работы с отрицательными числами и алгебраическими выражениями. Выражение «минус на минус даёт плюс» стало устойчивой поговоркой, применяемой и вне математики.

¶Применение в науке и технике

В физике знаки указывают направление величин: заряда, работы, проекции вектора, изменения энергии. В термодинамике знак работы определяет, совершает ли система работу или работу совершают над ней. В электротехнике «плюс» и «минус» обозначают полюса источника постоянного тока.

В программировании знаки используются как операторы сложения и вычитания, а также как унарные операторы смены знака. Существуют отдельные операции инкремента и декремента, а в языках вроде C и Java переполнение целых чисел со знаком имеет особое поведение.

¶Плюс и минус в бытовом языке

За пределами математики слова «плюс» и «минус» обозначают достоинства и недостатки. Выражение «взвесить все плюсы и минусы» означает сравнение аргументов за и против. В разговорной речи «плюс» может означать добавку, преимущество или положительный результат («это большой плюс»), а «минус» — недостаток, потерю или отклонение («работать в минус»).

В русском языке слова склоняются как существительные мужского рода: плюс, плюсы, минус, минусы. Они широко используются в публицистике, деловой речи и повседневном общении.

¶Типографские особенности

В типографике различают дефис, минус и тире — это разные символы с разной длиной и назначением. Математический минус (U+2212) длиннее дефиса и обычно выравнивается по высоте со знаком «+». В наборе формул принято отделять знаки пробелами от операндов, в отличие от обозначения знака числа, где пробел не ставится.

¶Интересные факты

• Знак «+» иногда трактуется как крест, а «−» — как горизонтальная черта; отсюда их простота и универсальность.
• В астрономии и географии знаками обозначают положительные и отрицательные высоты, температуры и координаты.
• В спорте «плюс» и «минус» используются в системах подсчёта очков, например в хоккее показатель «плюс/минус» отражает разницу забитых и пропущенных шайб при участии игрока на льду.
• В музыке знаки альтерации (диез и бемоль) иногда в шутку называют «плюсом» и «минусом» за визуальное сходство и функцию повышения или понижения тона.

¶Значение

Знаки «+» и «−» относятся к числу наиболее узнаваемых символов человеческой культуры. Они вышли далеко за пределы математики, став универсальными обозначениями прибавления и убавления, пользы и вреда, достоинств и недостатков. Их простота обеспечила им устойчивость на протяжении более пяти столетий.

Источники: труды по истории математики, учебники арифметики и алгебры, справочники по типографике, энциклопедические словари.