11-мерная супергравитация¶

11-мерная супергравитация — это теория поля, объединяющая принципы общей теории относительности и суперсимметрии в пространстве-времени с одиннадцатью измерениями (10 пространственных и 1 временное). Она является максимально возможной размерностью для непротиворечивой теории супергравитации, не содержащей безмассовых частиц со спином выше 2, и рассматривается как низкоэнергетический предел М-теории — гипотетической фундаментальной теории, объединяющей все пять известных вариантов теории суперструн.

¶История

¶Предпосылки создания

В 1970-х годах развитие теории суперструн и суперсимметрии привело к поиску единой теории, способной описать все фундаментальные взаимодействия. Ключевым ограничением стало то, что супергравитация — теория, объединяющая гравитацию (через метрику пространства-времени) и суперсимметрию, — может быть непротиворечиво сформулирована лишь в определённых размерностях. В 1976 году Вернер Нам и Джон Шварц показали, что супергравитация возможна в размерностях до 11 включительно, а в 1978 году Эудженио Кремо, Джоэль Шерк и Джон Шварц построили явный лагранжиан 11-мерной супергравитации.

¶Развитие в 1980-х годах

В 1980-е годы 11-мерная супергравитация привлекла внимание как возможный кандидат на единую теорию, однако её квантовая непротиворечивость оставалась под вопросом. В 1984 году Майкл Грин и Джон Шварц показали, что аномалии в теории суперструн сокращаются лишь в 10 измерениях, что временно отодвинуло 11-мерную версию на второй план. Однако в 1995 году Эдвард Виттен в рамках «второй суперструнной революции» предположил, что все пять 10-мерных суперструнных теорий являются предельными случаями одной 11-мерной теории, названной М-теорией. 11-мерная супергравитация стала её низкоэнергетическим приближением.

¶Современное состояние

С 1990-х годов 11-мерная супергравитация активно изучается в контексте М-теории, особенно в связи с компактификацией на многообразиях Калаби — Яу и торы. Она остаётся математически непротиворечивой классической теорией, но её квантование (полная квантовая теория) пока не построено.

¶Математическая основа

¶Суперсимметрия в 11 измерениях

11-мерная супергравитация основана на суперсимметричной алгебре Пуанкаре в 11 измерениях. Она содержит 32 суперзаряда (генератора суперсимметрии), что соответствует максимальному числу для теории без частиц со спином выше 2. Полевой состав включает:

• Гравитон (спин 2) — метрика пространства-времени \( g_{MN} \), где \( M, N = 0,1,\dots,10 \).
• Гравитино (спин 3/2) — майорановский спинор \( \psi_M \), партнёр гравитона по суперсимметрии.
• 3-форма (калибровочное поле) \( A_{MNP} \) — антисимметричное тензорное поле, обобщающее электромагнитное поле.

¶Действие

Действие 11-мерной супергравитации было построено Кремо, Шерком и Шварцем в 1978 году. Оно включает:

• Кинетический член Эйнштейна — Гильберта для гравитации.
• Кинетический член для 3-формы (пропорциональный \( F_4^2 \), где \( F_4 = dA_3 \)).
• Член Черна — Саймонса \( A_3 \wedge F_4 \wedge F_4 \), обеспечивающий калибровочную инвариантность.
• Взаимодействия гравитино с гравитоном и 3-формой.

¶Компактификация

Для получения физически реалистичных 4-мерных теорий 11-мерное пространство-время компактифицируется (сворачивается) на малом внутреннем многообразии. Наиболее изученные варианты:

• Компактификация на торе \( T^7 \) — даёт супергравитацию в 4 измерениях с \( N=8 \) суперсимметрией.
• Компактификация на многообразии Калаби — Яу — приводит к теориям с \( N=1 \) или \( N=2 \) суперсимметрией, что важно для феноменологии.

¶Связь с М-теорией

¶Низкоэнергетический предел

11-мерная супергравитация является классическим пределом М-теории при энергиях, много меньших планковской массы. В этом приближении квантовые эффекты (струны, мембраны) игнорируются, и теория описывается полями супергравитации.

¶Мембраны и М2-браны

В М-теории фундаментальными объектами являются не струны, а мембраны (2-браны) и М5-браны. 11-мерная супергравитация описывает их гравитационное взаимодействие через 3-форму, которая электрически взаимодействует с М2-браной и магнитно — с М5-браной.

¶Дуальности

11-мерная супергравитация связана с 10-мерными суперструнными теориями через дуальности:

• Тип IIA — получается компактификацией 11-мерной супергравитации на окружности \( S^1 \), где радиус окружности соответствует константе связи струны.
• Тип IIB — дуальна 11-мерной теории через компактификацию на торе \( T^2 \) с последующим пределом.

¶Применение и значение

¶Теоретическая физика

11-мерная супергравитация служит инструментом для изучения:

• Квантовой гравитации — как классическое приближение квантовой теории.
• Чёрных дыр — решения 11-мерных уравнений (например, чёрные дыры с зарядом по 3-форме) используются для проверки гипотезы о соответствии AdS/CFT.
• Космологии — модели ранней Вселенной, включающие суперсимметрию и дополнительные измерения.

¶Математика

Теория стимулировала развитие:

• Геометрии многообразий Калаби — Яу — компактификация на них требует решения сложных уравнений.
• Теории инвариантов — член Черна — Саймонса в 11 измерениях связан с топологическими инвариантами.

¶Критика и ограничения

¶Квантовая непротиворечивость

11-мерная супергравитация не является полной квантовой теорией — она перенормируема лишь в классическом пределе. Попытки квантования сталкиваются с расходимостями, которые, как предполагается, устраняются в М-теории.

¶Отсутствие экспериментальных подтверждений

Дополнительные измерения и суперсимметрия пока не обнаружены экспериментально. 11-мерная супергравитация остаётся чисто теоретической конструкцией, не имеющей прямых феноменологических предсказаний.

¶Альтернативные подходы

Некоторые исследователи (например, Ли Смолин) критикуют М-теорию и её супергравитационный предел за отсутствие предсказательной силы и сложность математического аппарата.

¶Интересные факты

• 11-мерная супергравитация — единственная максимальная супергравитация, не содержащая безмассовых частиц со спином выше 2. В размерностях выше 11 такие частицы неизбежно возникают, что нарушает непротиворечивость.
• Уравнения движения 11-мерной супергравитации допускают решения в виде «мембранных волн» — объектов, напоминающих гравитационные волны, но с дополнительными топологическими свойствами.
• В 1980-х годах 11-мерная супергравитация рассматривалась как альтернатива теории струн, но после открытия М-теории стала её неотъемлемой частью.

¶Источники

• Cremmer, E., Scherk, J., & Schwarz, J. H. (1978). "Spontaneously broken N=8 supergravity". Physics Letters B, 74(1-2), 61-64.
• Witten, E. (1995). "String theory dynamics in various dimensions". Nuclear Physics B, 443(1-2), 85-126.
• Duff, M. J. (1996). "M-theory (the theory formerly known as strings)". International Journal of Modern Physics A, 11(32), 5623-5641.
• Green, M. B., Schwarz, J. H., & Witten, E. (1987). Superstring Theory, Vol. 1 & 2. Cambridge University Press.