Аффинная комбинация¶

Аффинная комбинация — это в математике, в частности в линейной алгебре и геометрии, линейная комбинация точек (векторов) аффинного пространства, в которой сумма коэффициентов равна единице. Аффинные комбинации являются фундаментальным понятием, обобщающим такие операции, как выпуклые комбинации, барицентрические координаты и линейные интерполяции. Они позволяют описывать прямые, отрезки, плоскости и многомерные аффинные подпространства.

¶Определение

Пусть задано аффинное пространство \( \mathbb{A} \) над полем \( \mathbb{F} \) (обычно \( \mathbb{R} \) или \( \mathbb{C} \)). Точки \( P_1, P_2, \dots, P_n \in \mathbb{A} \) и скаляры \( \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \in \mathbb{F} \). Тогда аффинной комбинацией точек \( P_i \) с коэффициентами \( \alpha_i \) называется точка

\[ Q = \alpha_1 P_1 + \alpha_2 P_2 + \dots + \alpha_n P_n, \]

при условии, что

\[ \alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n = 1. \]

Если это условие не выполняется, выражение не является аффинной комбинацией и не гарантирует, что результат принадлежит тому же аффинному пространству. В евклидовом пространстве \( \mathbb{R}^d \) аффинная комбинация обычно записывается как:

\[ Q = \sum_{i=1}^n \alpha_i P_i, \quad \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1. \]

¶Свойства

¶Инвариантность относительно аффинных преобразований

Аффинные комбинации сохраняются при любых аффинных преобразованиях (линейное отображение плюс сдвиг). Если \( T: \mathbb{A} \to \mathbb{A} \) — аффинное преобразование, то

\[ T\left( \sum_{i=1}^n \alpha_i P_i \right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i T(P_i), \]

при условии \( \sum \alpha_i = 1 \). Это свойство делает аффинные комбинации естественным инструментом для работы с аффинными пространствами.

¶Связь с выпуклыми комбинациями

Если все коэффициенты \( \alpha_i \) неотрицательны и их сумма равна 1, то аффинная комбинация называется выпуклой комбинацией. Выпуклые комбинации порождают выпуклую оболочку множества точек. В отличие от выпуклых, аффинные комбинации допускают отрицательные коэффициенты, что позволяет описывать точки, лежащие на прямой за пределами отрезка.

¶Барицентрические координаты

Для набора из \( n \) точек в аффинном пространстве, если они находятся в общем положении (не лежат в одном аффинном подпространстве меньшей размерности), любая точка пространства может быть единственным образом представлена в виде аффинной комбинации этих точек. Коэффициенты такой комбинации называются барицентрическими координатами точки относительно данного набора. Например, в треугольнике на плоскости барицентрические координаты точки относительно вершин — это три числа, сумма которых равна 1, определяющие положение точки.

¶Замкнутость относительно аффинных подпространств

Множество всех аффинных комбинаций фиксированного набора точек образует аффинное подпространство (называемое аффинной оболочкой этого набора). Размерность этого подпространства равна максимальному числу линейно независимых векторов, образованных разностями точек.

¶Геометрическая интерпретация

¶Прямая и отрезок

Для двух точек \( A \) и \( B \) аффинная комбинация \( Q = (1-t)A + tB \), где \( t \in \mathbb{R} \), задаёт всю прямую, проходящую через \( A \) и \( B \). При \( t = 0 \) получается \( A \), при \( t = 1 \) — \( B \). Если \( t \in [0,1] \), то \( Q \) лежит на отрезке \( AB \) (выпуклая комбинация). Если \( t < 0 \) или \( t > 1 \), точка оказывается на продолжении отрезка за пределами \( A \) или \( B \) соответственно.

¶Плоскость и треугольник

Для трёх неколлинеарных точек \( A, B, C \) аффинная комбинация \( Q = \alpha A + \beta B + \gamma C \) с \( \alpha + \beta + \gamma = 1 \) задаёт всю плоскость, проходящую через эти точки. Если все коэффициенты неотрицательны, точка лежит внутри треугольника \( ABC \). Если один из коэффициентов отрицателен, точка находится за пределами треугольника, но в той же плоскости.

¶Многомерные подпространства

В \( \mathbb{R}^d \) аффинная комбинация \( k+1 \) точек, не лежащих в одном \( k-1 \)-мерном аффинном подпространстве, порождает \( k \)-мерное аффинное подпространство. Например, четыре точки в трёхмерном пространстве, не лежащие в одной плоскости, порождают всё трёхмерное пространство.

¶Применение

¶Компьютерная графика и геометрическое моделирование

Аффинные комбинации широко используются для интерполяции, построения кривых Безье, сплайнов и поверхностей. Кривая Безье степени \( n \) задаётся как аффинная комбинация \( n+1 \) контрольных точек с использованием полиномов Бернштейна, коэффициенты которых неотрицательны и в сумме дают 1. Это позволяет получать гладкие кривые, лежащие в выпуклой оболочке контрольных точек.

¶Робототехника и анимация

В задачах обратной кинематики и скелетной анимации аффинные комбинации применяются для вычисления положения промежуточных точек (например, суставов) относительно опорных точек. Барицентрические координаты используются для смешивания анимаций (blend shapes) и деформации моделей.

¶Численные методы

В методе конечных элементов и при аппроксимации функций аффинные комбинации используются для построения базисных функций на симплексах (треугольниках, тетраэдрах). Коэффициенты таких комбинаций (барицентрические координаты) служат локальными координатами внутри элемента.

¶Экономика и теория игр

В экономике аффинные комбинации применяются для описания портфелей активов, где веса (доли) в сумме дают 1. В теории игр аффинные комбинации используются для смешанных стратегий, где вероятности выбора чистых стратегий в сумме равны 1.

¶Примеры

1. Линейная интерполяция: точка \( Q = 0.3A + 0.7B \) лежит на отрезке \( AB \) на расстоянии 30% от \( A \) и 70% от \( B \).
2. Центр масс треугольника: если \( A, B, C \) — вершины треугольника, то точка \( Q = \frac{1}{3}A + \frac{1}{3}B + \frac{1}{3}C \) является центром масс (барицентром) треугольника.
3. Точка вне отрезка: \( Q = 2A - B \) — это точка на прямой \( AB \), расположенная за точкой \( A \) на расстоянии, равном длине отрезка \( AB \), в сторону, противоположную \( B \).

¶Связь с другими понятиями

• Линейная комбинация: в отличие от аффинной, линейная комбинация не требует, чтобы сумма коэффициентов равнялась 1. Линейные комбинации работают с векторами, а аффинные — с точками.
• Выпуклая комбинация: частный случай аффинной комбинации с неотрицательными коэффициентами.
• Аффинная оболочка: множество всех аффинных комбинаций данного набора точек.
• Барицентрические координаты: коэффициенты аффинной комбинации, задающие точку относительно опорного набора.

¶Источники

1. Бурбаки Н. «Алгебра. Глава 2. Линейная алгебра». — М.: Мир, 1965.
2. Кострикин А. И., Манин Ю. И. «Линейная алгебра и геометрия». — М.: Наука, 1986.
3. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. «Матричные вычисления». — М.: Мир, 1999.
4. Фаренкель П. «Компьютерная графика: алгоритмы и реализация». — СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
5. De Berg M., Cheong O., van Kreveld M., Overmars M. «Computational Geometry: Algorithms and Applications». — Springer, 2008.