Апофема в геометрии: определение и свойства¶
Апофема — в геометрии отрезок, проведённый из центра правильного многоугольника к середине любой его стороны, а также длина этого отрезка. Апофема всегда перпендикулярна стороне, к которой проведена, и является радиусом вписанной окружности данного многоугольника. Термин происходит от греческого слова ἀποθήκη («склад», «хранилище»), которое через латинское apotheca перешло в математическую лексику; в русскоязычной традиции ударение ставится на втором слоге — апофе́ма.
Понятие апофемы применимо исключительно к правильным многоугольникам и правильным пирамидам, поскольку только в этих фигурах центр равноудалён от всех сторон или граней. В произвольных многоугольниках отрезок из центра к стороне не обладает свойствами симметрии и апофемой не называется.
¶Апофема правильного многоугольника
¶Определение и связь с другими элементами
В правильном n-угольнике апофема a связана с радиусом описанной окружности R, стороной s и центральным углом α = 360°/n следующими соотношениями:
- a = R · cos(180°/n)
- a = s / (2 · tg(180°/n))
- R² = a² + (s/2)²
Апофема также равна радиусу вписанной окружности, то есть окружности, касающейся всех сторон многоугольника. Центр этой окружности совпадает с центром описанной окружности.
¶Формулы площади и периметра
Площадь правильного n-угольника может быть вычислена через апофему и периметр P:
S = (P · a) / 2 = n · s · a / 2
Эта формула является обобщением формулы площади треугольника (половина произведения основания на высоту): если разбить многоугольник на n равных равнобедренных треугольников с основаниями-сторонами и высотами-апофемами, сумма их площадей даёт указанное выражение.
¶Значения для распространённых многоугольников
Для правильного треугольника (равностороннего) апофема равна одной трети высоты, для квадрата — половине стороны, для правильного шестиугольника — (s·√3)/2, что совпадает с радиусом вписанной окружности. С ростом числа сторон при фиксированном радиусе описанной окружности апофема стремится к этому радиусу, а разница между ними убывает.
¶Апофема правильной пирамиды
¶Определение
В стереометрии апофемой правильной пирамиды называется высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. Поскольку боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками, все апофемы такой пирамиды равны между собой.
Апофему пирамиды обозначают обычно буквой l (реже hбок) и отличают от высоты пирамиды H — перпендикуляра, опущенного из вершины на плоскость основания.
¶Связь с высотой и радиусом основания
Если в основании правильной пирамиды лежит правильный n-угольник с апофемой a (радиусом вписанной окружности), то апофема боковой грани l, высота пирамиды H и апофема основания a связаны теоремой Пифагора:
l² = H² + a²
Здесь a — расстояние от центра основания до середины стороны основания, то есть апофема основания. Это соотношение следует из того, что апофема боковой грани, высота пирамиды и отрезок от центра основания до середины стороны образуют прямоугольный треугольник.
¶Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется как сумма площадей n равных треугольников:
Sбок = (P · l) / 2
где P — периметр основания, l — апофема пирамиды. Это выражение аналогично формуле площади правильного многоугольника через апофему основания.
¶Вычисление апофемы
¶По стороне многоугольника
Для правильного n-угольника со стороной s апофема вычисляется по формуле:
a = s / (2 · tg(180°/n))
Например, для квадрата со стороной 4: a = 4 / (2 · tg 45°) = 4/2 = 2. Для правильного шестиугольника со стороной 6: a = 6 / (2 · tg 30°) = 6 / (2 · 0,5774) ≈ 5,196.
¶По радиусу описанной окружности
Если известен радиус R описанной окружности, то:
a = R · cos(180°/n)
Для правильного треугольника с R = 10: a = 10 · cos 60° = 5. Для квадрата с R = 10: a = 10 · cos 45° ≈ 7,071.
¶В пирамиде
Для нахождения апофемы пирамиды требуется знать высоту пирамиды H и апофему основания aосн:
l = √(H² + aосн²)
Например, для правильной четырёхугольной пирамиды с высотой 12 и стороной основания 10: aосн = 5, l = √(144 + 25) = √169 = 13.
¶Практическое применение
Апофема используется в архитектуре и строительстве при расчёте правильных многогранных конструкций — куполов, пирамидальных крыш, декоративных элементов. В инженерных расчётах через апофему определяют площадь поверхностей, требующих покрытия или отделки. В математическом анализе понятие апофемы применяется при вычислении пределов: последовательность апофем правильных n-угольников при n → ∞ сходится к радиусу окружности, что используется при доказательстве формулы длины окружности и площади круга методом исчерпывания.
В компьютерной графике и 3D-моделировании апофема участвует в построении правильных многогранников и расчёте нормалей к граням. В оптике и теории линз апофема правильного многоугольника может использоваться при аппроксимации криволинейных поверхностей многоугольными сетками.
¶История понятия
Элементы вычислений, связанные с апофемой, встречаются ещё в работах древнегреческих математиков. Архимед в трактате «Об измерении круга» использовал вписанные и описанные правильные многоугольники для оценки числа π; при этом он фактически оперировал величинами, соответствующими апофемам. Систематическое определение апофемы как самостоятельного геометрического элемента появилось в европейской математике Нового времени в связи с развитием тригонометрии и стереометрии. В русскоязычных учебниках геометрии термин закрепился в XIX веке благодаря переводам курсов Эвклида и учебников А. П. Киселёва.