Базис — математическое и философское понятие¶
Базис (от нем. Basis, греч. βάσις — «основание») — многозначный термин, используемый в математике, философии, экономике и других областях знания. В математике базис — минимальный набор векторов линейного пространства, через который выражается любой элемент этого пространства; в философии марксизма базис — совокупность производственных отношений, определяющих надстройку общества. Термин также применяется в химии (базис — устаревшее название основания), компьютерных науках (базисные функции, базисные строки) и лингвистике.
¶Базис в линейной алгебре
В линейной алгебре базис конечномерного векторного пространства $V$ — это упорядоченный набор векторов $e_1, e_2, \dots, e_n$, который одновременно удовлетворяет двум условиям:
- Линейная независимость — нет нетривиальной линейной комбинации $a_1 e_1 + \dots + a_n e_n = 0$ с ненулевыми коэффициентами.
- Порождение — любой вектор $v \in V$ представляется в виде $v = a_1 e_1 + \dots + a_n e_n$.
Число векторов в базисе называется размерностью пространства и не зависит от выбора базиса (теорема о независимости размерности от базиса). Коэффициенты $a_i$ в разложении вектора по базису называются координатами вектора в этом базисе.
¶Связанные понятия
- Ортонормированный базис — базис, в котором векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Наиболее удобен для вычислений.
- Дополнение до базиса — любой линейно независимый набор векторов можно дополнить до базиса (теорема о дополнении).
- Матрица перехода — матрица, связывающая координаты одного вектора в двух разных базисах.
- Двойственный (сопряжённый) базис — базис линейного пространства, порождённый линейными функционалами, сопряжёнными с исходным базисом.
¶Примеры
В $\mathbb{R}^3$ стандартный базис — тройка векторов $e_1 = (1, 0, 0)$, $e_2 = (0, 1, 0)$, $e_3 = (0, 0, 1)$. В пространстве многочленов степени не выше $n$ базисом служат мономы $1, x, x^2, \dots, x^n$. В пространстве непрерывных функций на отрезке [a, b] бесконечные базисы задаются, например, тригонометрической системой (ряды Фурье) или полиномами Чебышёва.
¶Обобщения
В бесконечномерных пространствах различают гамильтонов базис (любой счётный линейно независимый набор, порождающий плотное подпространство) и базис Шаудера (набор, в котором любой элемент представляется сходящимся разложением). В топологических векторных пространствах понятие базиса уточняется с учётом топологии.
¶Базис в философии марксизма
В историческом материализме базис — экономическая структура общества, совокупность производственных сил и производственных отношений. К. Маркс определял базис как «экономическую структуру общества», на которой возвышается надстройка — политические, правовые, религиозные, философские и иные институты и формы общественного сознания.
Согласно марксистской теории, характер базиса (рабовладельческий, феодальный, капиталистический, социалистический) определяет тип надстройки. Изменения в базисе, по Марксу, неизбежно ведут к трансформации надстройки. В советской философской литературе эта схема (базис — надстройка) была основополагающей для исторического материализма; в западной марксологии она подвергалась критике за детерминизм и упрощение.
¶Базис в химии
В устаревшей химической номенклатуре базис (от лат. basis) — химическое основание, соединение, способное образовывать с кислотами соли с выделением воды. В современной номенклатуре используется термин «основание» (по Брюнстеду — протоноакцептор, по Льюису — донор электронной пары). Термин «базис» сохранился в названиях некоторых классов соединений — например, базисные соли.
¶Базис в экономике и юриспруденции
В экономике под базисом понимают совокупность условий, на которых строится экономический расчёт: базисные цены, базисный год (принятый за точку отсчёта индекса), базисная доходность. В юриспруденции базис — исходные принципы правовой системы.
¶Базис в компьютерных науках
В теории кодирования и криптографии базис — набор векторов, задающий кодовое пространство (например, линейный код определяется своей порождающей матрицей — базисом). В теории чисел и вычислительной математике используются базисы сплайнов, базисы волновых преобразований и другие конструкции.
¶Интересные факты
- Теорема Штейница (1913) утверждает, что любые два базиса любого векторного пространства имеют одинаковую мощность — это свойство называется инвариантностью размерности.
- В квантовой механике набор ортонормированных базисных векторов пространства состояний называется базисом Коши (в честь французского математика Огюстена Коши).
Источники:
- Гантмахер Ф. Р. «Теория матриц»
- Курош А. Г. «Курс линейной алгебры»
- Маркс К. «Капитал. Критика политической экономии», том I
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Квантовая механика. Нерелятивистская теория»
- Прасолов В. В. «Задачи и теоремы линейной алгебры»