Бесконечно удалённые элементы¶

Бесконечно удалённые элементы — это идеальные (фиктивные) объекты, добавляемые в геометрические пространства (проективную плоскость, проективное пространство, сферу Римана) для придания им свойства компактности и устранения исключений из общих теорем. В зависимости от контекста бесконечно удалёнными элементами могут быть точки, прямые или плоскости, соответствующие направлениям, в которых параллельные прямые или плоскости «пересекаются» на бесконечности.

¶История

Понятие бесконечно удалённых элементов восходит к античной геометрии. Евклид в «Началах» постулировал, что параллельные прямые не пересекаются, что порождало исключения из многих теорем. В эпоху Возрождения художники, разрабатывая теорию перспективы, столкнулись с необходимостью изображать параллельные линии сходящимися в одной точке на горизонте — так называемой точке схода. Это стало первым наглядным прообразом бесконечно удалённой точки.

В XVII веке Жерар Дезарг и Блез Паскаль заложили основы проективной геометрии, в которой параллельные прямые рассматриваются как пересекающиеся в бесконечно удалённой точке. Систематическое математическое обоснование бесконечно удалённых элементов было дано в XIX веке. Карл Фридрих Гаусс ввёл понятие бесконечно удалённой прямой на плоскости. Аугуст Фердинанд Мёбиус, Якоб Штейнер и особенно Жан-Виктор Понселе развили проективную геометрию, в которой бесконечно удалённые элементы стали полноправными объектами. Понселе впервые чётко сформулировал принцип двойственности, требующий единообразного рассмотрения всех точек и прямых, включая бесконечно удалённые.

В конце XIX века Феликс Клейн в Эрлангенской программе показал, что проективная геометрия, включающая бесконечно удалённые элементы, является фундаментом для всех других геометрий (евклидовой, гиперболической, эллиптической). В XX веке понятие бесконечно удалённых точек было обобщено в топологии (одноточечная компактификация Александрова) и комплексном анализе (сфера Римана).

¶Классификация бесконечно удалённых элементов

В зависимости от размерности пространства различают следующие типы бесконечно удалённых элементов:

¶Бесконечно удалённая точка

В одномерном случае (прямая) добавляется одна бесконечно удалённая точка, которая замыкает прямую в окружность (проективная прямая). В комплексном анализе это соответствует сфере Римана — комплексная плоскость дополняется одной точкой ∞. В топологии такая операция называется одноточечной компактификацией.

¶Бесконечно удалённая прямая

На проективной плоскости (двумерное пространство) добавляется целая бесконечно удалённая прямая. Каждая точка этой прямой соответствует направлению параллельных прямых на евклидовой плоскости. Таким образом, все параллельные прямые одного направления пересекаются в одной бесконечно удалённой точке, а все такие точки образуют бесконечно удалённую прямую.

¶Бесконечно удалённая плоскость

В трёхмерном проективном пространстве добавляется бесконечно удалённая плоскость. На ней лежат все бесконечно удалённые точки и прямые, соответствующие направлениям в пространстве. Параллельные плоскости в евклидовом пространстве пересекаются по бесконечно удалённой прямой.

¶Математическое описание

¶Аналитическая геометрия

В проективной геометрии точки задаются однородными координатами. Для проективной плоскости точка задаётся тройкой чисел (x₁ : x₂ : x₃), не равных одновременно нулю, причём пропорциональные тройки задают одну и ту же точку. Если x₃ ≠ 0, то точка соответствует обычной евклидовой точке с координатами (x₁/x₃, x₂/x₃). Если x₃ = 0, то точка является бесконечно удалённой и задаёт направление (x₁, x₂).

Аналогично, в трёхмерном проективном пространстве точка задаётся четвёркой (x₁ : x₂ : x₃ : x₄). При x₄ = 0 точка бесконечно удалённая.

¶Топологическая компактификация

В топологии бесконечно удалённые элементы используются для компактификации некомпактных пространств. Наиболее известны два способа:

• Одноточечная компактификация (Александрова) — добавляется одна точка ∞, что превращает, например, ℝⁿ в сферу Sⁿ.
• Компактификация Стоуна — Чеха — максимальная компактификация, добавляющая множество точек, соответствующих ультрафильтрам.

Проективная компактификация (добавление целой плоскости на бесконечности) является частным случаем более общей конструкции.

¶Применение

¶Проективная геометрия

Бесконечно удалённые элементы позволяют сформулировать общие теоремы без исключений. Например, теорема Дезарга: если два треугольника перспективны из точки, то точки пересечения соответственных сторон лежат на одной прямой (включая бесконечно удалённую, если стороны параллельны). Теорема Паскаля о шестиугольнике, вписанном в конику, также справедлива для вырожденных случаев, когда некоторые вершины или точки пересечения бесконечно удалены.

¶Комплексный анализ

Сфера Римана — комплексная плоскость с добавленной бесконечно удалённой точкой — является компактным римановым многообразием. На ней определены мероморфные функции, которые могут иметь полюсы в конечных точках и в ∞. Это позволяет единообразно рассматривать все рациональные функции как отображения сферы Римана на себя.

¶Теория относительности

В физике, в частности в общей теории относительности, понятие бесконечно удалённых точек используется при описании пространства-времени. Бесконечно удалённые элементы (пространственная, временная и световая бесконечности) формализуются в рамках конформной компактификации Пенроуза, что позволяет изучать асимптотическое поведение гравитационных полей и излучения.

¶Компьютерная графика

В алгоритмах трёхмерной визуализации (рендеринге) бесконечно удалённые точки используются для задания направлений источников света (бесконечно удалённый источник света) и для построения перспективных проекций, где параллельные линии сходятся в точке схода на горизонте.

¶Интересные факты

• В проективной геометрии бесконечно удалённая прямая называется также «абсолютной прямой» или «прямой на бесконечности».
• В эллиптической геометрии (геометрии Римана) бесконечно удалённых элементов нет — любая прямая замкнута и не имеет параллельных.
• В гиперболической геометрии Лобачевского бесконечно удалённые точки образуют «абсолют» — множество точек на границе модели Пуанкаре или модели Клейна.
• В алгебраической геометрии бесконечно удалённые точки играют ключевую роль при компактификации алгебраических многообразий, например, при проективизации аффинных многообразий.