Часы, показывающие верное время дважды в сутки¶

Часы, показывающие верное время только два раза в сутки — распространённая формулировка логической задачи, в которой спрашивается, сколько раз за сутки часы с остановившимся или сломанным механизмом показывают правильное время. Ответ на задачу — дважды, поскольку остановившиеся часы совпадают с настоящим временем дважды за 12 часов (один раз при движении стрелок по часовой стрелке и один раз — против). Задача популярна в жанре интеллектуальных загадок и логических головоломок, а также служит иллюстрацией к обсуждению точности и надёжности измерительных приборов.

¶Суть задачи

Классическая формулировка звучит так: «Сломались часы. Какое количество раз за сутки они показывают верное время?» Условие предполагает, что стрелки часов полностью остановились и не движутся. За 12 часов (полуцикл циферблата) реальное время проходит через положение остановившихся стрелок ровно один раз. Поскольку сутки состоят из двух 12-часовых циклов (или одного 24-часового, на циферблате с повторяющейся шкалой), стрелки остановившихся часов совпадают с настоящим временем дважды.

Задача часто формулируется с подвохом: интуитивно кажется, что сломанные часы не показывают верного времени ни разу, либо, наоборот, всегда. Правильный ответ — дважды — основан на том, что стрелки остановившихся часов в течение суток дважды окажутся в том же положении, которое занимает настоящее время.

¶Варианты задачи

В логической литературе известны несколько модификаций исходной задачи:

• Остановившиеся часы. Стрелки неподвижны. Верное время показывается дважды в сутки — это базовый вариант.
• Отстающие часы. Механизм работает, но с постоянной погрешностью (например, отстаёт на 15 минут в час). Количество совпадений с настоящим временем зависит от величины погрешности и может быть вычислено.
• Спешащие часы. Аналогичный вариант, но механизм ускорен.
• Часы без секундной стрелки. Если учитывать только часовые и минутные стрелки, количество совпадений возрастает: часовая стрелка за сутки совершает два полных оборота, и моментов, когда часовая и минутная стрелки занимают одинаковое положение, больше, чем при учёте секундной стрелки.

¶Математическая постановка

Задачу можно сформулировать строго. Пусть остановившиеся часы показывают время $T_0$, а настоящее время в течение суток меняется от $0$ до $24$ часов. Совпадение наступает, когда $T(t) = T_0 \pmod{12}$. Уравнение имеет два решения на отрезке длиной 24 часа: одно в первом 12-часовом цикле, второе — во втором. Если же часы не остановились полностью, а идут с постоянной ошибкой $\delta$ (например, отстают на $\delta$ часов в час), то количество совпадений определяется отношением скорости хода часовых стрелок к скорости реального времени. При $\delta = 1$ час в час (полностью остановившиеся часы) получается ровно два совпадения.

¶История и популярность

Задача об остановившихся часах известна с XIX века и входит в классические сборники логических задач и математических головоломок. Она фигурирует в работах по популяризации математики, в частности в книгах Мартина Гарднера и других авторов, посвящённых математическим загадкам и логическим парадоксам. В русскоязычной традиции задача распространена как интеллектуальная загадка для детей и взрослых, а также как элемент математических кружков и олимпиад.

¶Связанные задачи

Ряд смежных задач посвящён определению точного времени по часам с остановившимся или неточным механизмом:

• Задача о часах в комнате. Человек заходит в комнату, видит настенные часы, определяет по ним время, уходит, а затем возвращается и по тем же часам определяет, сколько времени прошло. Если часы остановлены, прошедшее время определить нельзя.
• Задача о двух часах. Имеются одни работающие и одни остановившиеся часы; нужно определить точное время, зная только показания остановившихся.
• Задача о точности хода. Часы спешат или отстают на определённое количество минут в час; требуется вычислить, когда они впервые покажут верное время.

¶Интересные факты

• Задача является примером того, как интуитивно неверное решение («часы сломаны — значит, не показывают верного времени») противоречит строгому рассуждению.
• В западной культуре фраза «даже сломанные часы дважды в сутки показывают верное время» используется как крылатое выражение, означающее, что даже ненадёжный источник информации иногда оказывается прав.
• В 12-часовом формате (AM/PM) ответ также равен двум, поскольку циферблат повторяется дважды за сутки.

¶Источники

• Гарднер М. Математические головоломки и развлечения.
• Сборники логических задач и математических олимпиад.
• Классические задачники по элементарной математике.