Правильный — математическое понятие¶

Правильный — термин, используемый в математике и смежных науках для обозначения объектов, обладающих наибольшей степенью симметрии и упорядоченности в своём классе. Наиболее распространено понятие правильного многоугольника — плоской фигуры, все стороны которой равны, а все углы равны между собой. Понятие «правильный» также применяется к многогранникам, телам вращения, кривым и другим геометрическим объектам.

¶Правильный многоугольник

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны по длине и все углы равны между собой. Число сторон обозначается буквой $n$ ($n \geqslant 3$). Сумма углов правильного $n$-угольника равна $(n-2)\cdot 180°$, следовательно, каждый его внутренний угол составляет $\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$.

Правильные многоугольники обладают максимальной симметрией среди многоугольников с данным числом сторон: группа их симметрий — диэдральная группа $D_n$ порядка $2n$, включающая $n$ поворотов и $n$ отражений.

¶Основные правильные многоугольники

¶Построение циркулем и линейкой

Классическая задача геометрии — определить, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой. Ответ был получен Карлом Фридрихом Гауссом в 1796 году: правильный $n$-угольник построим тогда и только тогда, когда $n$ имеет вид $2^k p_1 p_2 \dots p_m$, где $p_i$ — различные простые числа Ферма (вида $2^{2^t}+1$). Гаусс в 19 лет доказал построимость правильного 17-угольника, что стало одним из его первых крупных результатов.

Из известных простых чисел Ферма только 3, 5, 17, 257 и 65537. Следовательно, правильные треугольник, пятиугольник, 17-угольник, 257-угольник и 65537-угольник построимы, а, например, правильный 7-угольник или 9-угольник — нет.

¶Правильные многогранники

Правильный многогранник — выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одинаковым числом сторон, и в каждой вершине сходится одно и то же число граней. В трёхмерном евклидовом пространстве существует ровно пять правильных выпуклых многогранников — так называемые платоновы тела:

Эти тела известны с античности; их описания встречаются у Платона (отсюда название «платоновы тела») и Евклида. Правильность тел подтверждается формулой Эйлера $V - E + F = 2$ и симметричностью групп вращений.

Кроме выпуклых, существуют четыре правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранника Кеплера — Пуансо, в которых вершины и рёбра совпадают с таковыми у платоновых тел, но грани являются звёздчатыми многоугольниками.

¶Правильные тела вращения

Правильными телами вращения называют тела, получающиеся вращением правильного многоугольника вокруг оси симметрии. К ним относятся:

• Правильный конус — тело вращения правильного треугольника вокруг высоты.
• Правильный цилиндр — тело вращения прямоугольника вокруг оси, проходящей через середины двух противоположных сторон.
• Правильный шар — единственное тело, обладающее симметрией группы вращений произвольного порядка.

¶Правильные кривые и поверхности

Понятие «правильный» распространяется и на кривые. Правильная кривая — кривая, обладающая наибольшей возможной группой симметрий среди кривых того же типа. К правильным кривым относятся:

• Прямая — кривая с наибольшей группой симметрий (включает отражения и сдвиги вдоль прямой).
• Окружность — замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра; группа симметрий — ортогональная группа $O(2)$.
• Эллипс, гипербола, парабола — конические сечения, обладающие двумя осями симметрии.

Правильные поверхности включают сферу, прямой круговой цилиндр и конус.

¶Применение

Понятие правильного многоугольника применяется в архитектуре и декоративно-прикладном искусстве: правильные шестиугольники (гексагоны) образуют структуру сот, обладающую оптимальными свойствами заполнения плоскости. Платоновы тела используются в химии для описания структуры молекул и кристаллов, в кристаллографии — для классификации симметрии кристаллических решёток.

Правильные многоугольники применяются в технике: шестигранники являются стандартной формой головок болтов и гаек, что обусловлено удобством захвата инструментом при ограниченном угле поворота.

В компьютерной графике правильные многогранники используются как базовые примитивы для построения сложных моделей и аппроксимации сферических поверхностей.

¶История

Понятие правильных многогранников восходит к античной математике. Евклид в «Началах» (книга XIII) доказал, что существует не более пяти правильных выпуклых многогранников и построил их. Платон связывал правильные тела с элементами: тетраэдр — с огнём, куб — с землёй, октаэдр — с воздухом, икосаэдр — с водой, а додекаэдр — с космосом.

В XVI веке Лука Пачоли в трактате «De divina proportione» (1509) с иллюстрациями Леонардо да Винчи рассмотрел правильные многогранники и их сечения. Иоганн Кеплер в «Harmonices mundi» (1619) описал звёздчатые правильные многогранники, позднее дополненные Луи Пуансо в XIX веке.

¶Источники

• Евклид. Начала, книга XIII.
• Гаусс К. Ф. Об построении правильного семнадцатиугольника (1796).
• Кеплер И. Harmonices mundi (1619).
• Пуансо Л. Теория правильных многогранников (1858).
• Болтянский В. Г., Ефимов Н. Н. Высшая геометрия.
• Киселёв А. П. Геометрия. Планиметрия.