Чётное число¶

Чётное число — целое число, кратное двум, то есть делящееся на два без остатка. Чётные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью два: …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, …; нулевое число также считается чётным. В десятичной записи чётность определяется последней цифрой: чётными являются числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8.

¶Определение и обозначения

Формально чётность определяется через делимость: число $n$ чётно, если существует целое число $k$, такое что $n = 2k$. Такое $k$ называется половиной числа $n$. Если $n$ не кратно двум, оно называется нечётным и записывается в виде $n = 2k + 1$.

Множество всех чётных целых чисел обозначают $2\mathbb{Z}$, а нечётных — $2\mathbb{Z} + 1$. Оба множества являются арифметическими прогрессиями с разностью 2 и разбивают множество целых чисел на два класса вычетов по модулю 2.

¶Свойства

• Сумма и разность. Сумма двух чётных чисел чётна; сумма двух нечётных чисел также чётна; сумма чётного и нечётного числа нечётна.
• Произведение. Произведение чётного числа на любое целое число чётно. Произведение двух нечётных чисел нечётно.
• Степени. Любая степень чётного числа (с положительным целым показателем) чётна. Любая степень нечётного числа нечётна.
• Делители. Чётное число имеет хотя бы один нечётный делитель, отличный от единицы, если оно не равно степени двойки. Каждое чётное число, кроме нуля, делится на 2.
• Чётность суммы. Чётность суммы нескольких чисел определяется чётностью количества нечётных слагаемых: сумма чётна тогда и только тогда, когда среди слагаемых чётное число нечётных.

¶Нулевое число

Ноль относится к чётным числам, поскольку $0 = 2 \cdot 0$. Это следует из определения и согласуется со всеми свойствами чётности: $0 + 0 = 0$ (чётно), $0 \cdot n = 0$ (чётно), $0 = 2k$ при $k = 0$. Отнесение нуля к чётным числам принято в современной математике и не оспаривается.

¶История

Понятие чётности восходит к античной математике. Уже в трудах Пифагора и его школы числа делились на чётные и нечётные, а также на «мужские» (нечётные) и «женские» (чётные) — в рамках пифагорейской символики. Пифагорейцы также выделяли понятия «чётных-чётных» (кратные четырём), «нечётных-чётных» (не кратные четырём, но кратные двум) и «нечётных-нечётных» (нечётные, не кратные трём) чисел.

В Древней Греции и Риме чётность чисел использовалась в нумерологии и музыкальной теории: соотношения чётных и нечётных чисел связывали с гармонией. В средневековой арифметике деление на чётные и нечётные числа входило в стандартный набор приёмов вычислений.

¶Чётность в других системах счисления

Проверка чётности не зависит от системы счисления: число чётно или нечётно независимо от того, записано ли оно в двоичной, восьмеричной, десятичной или шестнадцатеричной системе. Однако в системах с основанием, кратным двум, чётность определяется последним разрядом записи:

В двоичной системе чётность особенно проста: число чётно тогда и только тогда, когда его младший бит равен нулю. Это свойство широко используется в программировании — операция «побитовое И» с единицей ($n \ \& \ 1$) позволяет мгновенно проверить чётность числа.

¶Применение

¶Математика

Чётность — один из базовых инструментов элементарной теории чисел. Проверка делимости на два является первой в цепочке правил делимости (на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 и т. д.). Понятие чётности обобщается в теории колец: в кольце вычетов $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ все элементы делятся на два класса, и это кольцо является простейшим полем характеристики два.

¶Компьютерные науки

В программировании чётность используется для оптимизации алгоритмов: разделение данных на две группы, чередование, проверка на «переключение» состояния. Побитовые операции с чётностью применяются в хеш-функциях, генераторах псевдослучайных чисел и криптографических алгоритмах.

¶Логика и теория игр

В комбинаторных играх чётность числа ходов определяет победу первого или второго игрока. Правило чётности применяется в задачах о перестановках: знак перестановки определяется чётностью числа перестановок элементов.

¶Интересные факты

• Сумма всех натурных чисел от 1 до $n$ чётна тогда и только тогда, когда $n \equiv 0$ или $3 \pmod 4$.
• Количество нечётных чисел в отрезке $[1, n]$ равно $\lceil n/2 \rceil$.
• Число $2$ — единственное простое чётное число: все остальные простые числа нечётны.

¶Источники

• Н. Бурбаки. «Основания математики»
• Г. Х. Харди, Э. М. Райт. «Введение в теорию чисел»
• А. Я. Хинчин. «Теория чисел»
• К. Бойер. «История математики»
• Д. Кнут. «Искусство программирования», том 4A