Числа Громова — Виттена¶

Числа Громова — Виттена — это инварианты симплектической топологии и алгебраической геометрии, которые подсчитывают количество псевдоголоморфных кривых определённого рода и степени, проходящих через заданные циклы (подмногообразия) в симплектическом многообразии. Они являются одним из центральных инструментов современной симплектической геометрии и теории зеркальной симметрии, позволяя связывать геометрические свойства многообразий с их квантовыми когомологиями.

¶История

Числа Громова — Виттена были введены в начале 1990-х годов в работах математиков Миши Громова и Эдварда Виттена. Громов в 1985 году заложил основы теории псевдоголоморфных кривых, показав, что такие кривые можно использовать для изучения симплектических многообразий. Виттен, в свою очередь, в 1991 году в контексте топологической теории струн (теории квантовой гравитации) предложил интерпретировать числа, возникающие при подсчёте голоморфных кривых, как инварианты, удовлетворяющие определённым рекуррентным соотношениям (уравнениям Кодзимы). Позднее, в работах Концевича, Манина, Ли, Тяня и других, была построена строгая алгебро-геометрическая теория, в которой числа Громова — Виттена определяются через пространства модулей стабильных отображений.

¶Определение

¶Псевдоголоморфные кривые

Пусть \((X, \omega)\) — компактное симплектическое многообразие размерности \(2n\) с почти комплексной структурой \(J\), совместимой с \(\omega\). Псевдоголоморфная кривая — это отображение \(f: \Sigma \to X\) из римановой поверхности \(\Sigma\) рода \(g\) с \(k\) отмеченными точками, такое, что дифференциал \(df\) коммутирует с комплексными структурами на \(\Sigma\) и \(X\) (то есть \(J \circ df = df \circ j\)). Для заданного гомологического класса \(\beta \in H_2(X; \mathbb{Z})\) рассматриваются кривые, реализующие этот класс: \(f_*[\Sigma] = \beta\).

¶Пространство модулей

Пространство модулей \(\overline{\mathcal{M}}_{g,k}(X, \beta)\) — это компактифицированное (по Громову — Виттену) пространство всех стабильных псевдоголоморфных отображений рода \(g\) с \(k\) отмеченными точками, реализующих класс \(\beta\). Стабильность означает, что автоморфизмы кривой, сохраняющие отмеченные точки, конечны. Это пространство является орбифолдом (или стеком) с виртуальной фундаментальной размерностью: \[ \text{vdim} = (n-3)(1-g) + k + c_1(TX) \cdot \beta, \] где \(c_1(TX)\) — первый класс Черна касательного расслоения \(X\).

¶Оценка через циклы

Для каждого \(i = 1, \dots, k\) выбирается цикл (подмногообразие) \(C_i \subset X\) (или когомологический класс \(\alpha_i \in H^(X; \mathbb{Q})\)), представляющий некоторое условие прохождения кривой через этот цикл. Число Громова — Виттена \(GW_{g, \beta}(\alpha_1, \dots, \alpha_k)\) определяется как интеграл по виртуальному фундаментальному классу пространства \(\overline{\mathcal{M}}_{g,k}(X, \beta)\) от произведения форм, двойственных по Пуанкаре к циклам \(C_i\). Формально: \[ GW_{g, \beta}(\alpha_1, \dots, \alpha_k) = \int_{[\overline{\mathcal{M}}_{g,k}(X, \beta)]^{\text{vir}}} \prod_{i=1}^k \text{ev}_i^(\alpha_i), \] где \(\text{ev}_i\) — отображение оценки в \(i\)-й отмеченной точке. Это число является рациональным (в общем случае) и не зависит от выбора почти комплексной структуры \(J\) (при условии, что \(X\) компактно и \(\omega\) симплектична).

¶Свойства

¶Инвариантность

Числа Громова — Виттена являются симплектическими инвариантами: они не меняются при деформациях симплектической структуры. В алгебраической геометрии они также инвариантны относительно деформаций комплексной структуры многообразия.

¶Рекуррентные соотношения

Числа Громова — Виттена удовлетворяют уравнениям Кодзимы — это рекуррентные соотношения, связывающие числа для разных родов и числа отмеченных точек. В частности, для рода 0 они подчиняются так называемым «уравнениям ассоциативности» (WDVV-уравнениям), которые лежат в основе квантовых когомологий.

¶Связь с квантовыми когомологиями

Квантовое кольцо когомологий \(QH^(X)\) — это деформация обычного кольца когомологий, в котором умножение задаётся с помощью чисел Громова — Виттена. Для трёх классов \(\alpha, \beta, \gamma \in H^(X)\) квантовое произведение определяется как: \[ \alpha \star \beta = \sum_{\beta \in H_2(X; \mathbb{Z})} \sum_{g \ge 0} GW_{g, \beta}(\alpha, \beta, \gamma) \, q^\beta, \] где \(q^\beta\) — формальный параметр, соответствующий классу \(\beta\). Это кольцо играет ключевую роль в зеркальной симметрии.

¶Примеры

¶Торические многообразия

Для торических многообразий (например, проективных пространств \(\mathbb{CP}^n\)) числа Громова — Виттена могут быть явно вычислены с помощью комбинаторных методов (например, через локализацию по действию тора). Для \(\mathbb{CP}^2\) числа рода 0, подсчитывающие количество рациональных кривых степени \(d\), проходящих через \(3d-1\) точек в общем положении, известны как числа Громова — Виттена для \(\mathbb{CP}^2\) и имеют вид: \[ GW_{0, d}(\text{pt}, \dots, \text{pt}) = \frac{1}{d^3} \sum_{k=1}^{d-1} \binom{d}{k} \binom{d}{k-1} \binom{d-1}{k-1}. \]

¶Кэлеровы многообразия

Для компактных кэлеровых многообразий (например, гиперкэлеровых многообразий или многообразий Калаби — Яу) числа Громова — Виттена дают информацию о количестве голоморфных кривых, что важно для струнной теории и теории зеркальной симметрии. В частности, для многообразий Калаби — Яу размерности 3 числа Громова — Виттена рода 0 связаны с предсказаниями физической теории струн.

¶Применение

¶Зеркальная симметрия

Числа Громова — Виттена являются ключевым ингредиентом в зеркальной симметрии — гипотезе, связывающей симплектическую геометрию одного многообразия (A-модель) с комплексной геометрией другого (B-модель). В A-модели числа Громова — Виттена вычисляют корреляционные функции, которые в B-модели соответствуют периодам голоморфных форм.

¶Инварианты Дональдсона — Томаса

Существует связь между числами Громова — Виттена и инвариантами Дональдсона — Томаса (для многообразий Калаби — Яу), которая выражается в гипотезе MNOP (Майр, Никита, Окуньков, Пандарипанде). Эта гипотеза утверждает, что производящие функции чисел Громова — Виттена и инвариантов Дональдсона — Томаса совпадают после замены переменных.

¶Квантовая теория поля

В физике числа Громова — Виттена возникают в топологической теории струн (A-модель) как корреляционные функции, описывающие рассеяние частиц. Они также используются в теории суперструн для подсчёта числа голоморфных кривых, что важно для компактификации дополнительных измерений.

¶Критика и ограничения

Хотя числа Громова — Виттена являются мощным инструментом, их вычисление в общем случае остаётся сложной задачей. Для некомпактных многообразий или в случае вырождений (например, когда пространство модулей имеет большую размерность, чем виртуальная) определение может требовать дополнительных поправок. Кроме того, для многообразий с неположительной кривизной (например, гиперболических) числа Громова — Виттена могут быть нулевыми, что ограничивает их применимость.

¶Интересные факты

• Виттен получил Филдсовскую медаль в 1990 году, а Громов — в 1970 году, хотя их совместная работа по числам Громова — Виттена была завершена позже.
• Для проективной плоскости \(\mathbb{CP}^2\) числа Громова — Виттена рода 0 для степеней \(d=1,2,3\) равны соответственно 1, 1 и 12 (для прохождения через \(3d-1\) точек).
• Существует обобщение чисел Громова — Виттена на случай с граничными условиями (открытые числа Громова — Виттена), используемое в теории лагранжевых подмногообразий.

¶См. также

• Псевдоголоморфная кривая
• Квантовые когомологии
• Зеркальная симметрия
• Пространство модулей

¶Источники

• Gromov, M. (1985). Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds. Inventiones Mathematicae, 82(2), 307–347.
• Witten, E. (1991). Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space. Surveys in Differential Geometry, 1, 243–310.
• Kontsevich, M. (1995). Enumeration of rational curves via torus actions. In The Moduli Space of Curves (pp. 335–368). Birkhäuser.
• McDuff, D., & Salamon, D. (2012). J-holomorphic curves and symplectic topology. American Mathematical Society.
• Manin, Y. I. (1999). Frobenius manifolds, quantum cohomology, and moduli spaces. American Mathematical Society.