Число Грассгофа¶

Число Грассгофа — это безразмерный критерий подобия в гидродинамике и теплообмене, характеризующий отношение подъёмной силы, возникающей вследствие разности плотностей нагретой и холодной среды, к силам вязкости. Число Грассгофа используется для описания режимов свободной (естественной) конвекции, то есть движения жидкости или газа, вызванного неоднородностью температурного поля, а не внешним принудительным воздействием (например, насосом или вентилятором). Названо в честь немецкого инженера и учёного Франца Грассгофа (1826—1893).

¶История

Понятие числа Грассгофа возникло в рамках теории подобия, активно развивавшейся в конце XIX — начале XX века. Франц Грассгоф, профессор Политехнического института в Карлсруэ, внёс значительный вклад в механику жидкостей и газов, а также в термодинамику. В 1870-х годах он предложил этот критерий для анализа естественной конвекции, однако широкое распространение число получило только в первой половине XX века, когда была разработана теория пограничного слоя и методы моделирования тепловых процессов. Впоследствии число Грассгофа стало стандартным параметром в задачах теплообмена, наряду с числами Рейнольдса, Прандтля и Нуссельта.

¶Определение и формула

Число Грассгофа (обозначается Gr) определяется следующим образом:

\[ Gr = \frac{g \beta \Delta T L^3}{\nu^2} \]

где:

• \(g\) — ускорение свободного падения (м/с²);
• \(\beta\) — коэффициент теплового расширения среды (1/К); для идеальных газов \(\beta = 1/T\), где \(T\) — абсолютная температура;
• \(\Delta T\) — разность температур между нагретой поверхностью и окружающей средой (К);
• \(L\) — характерный линейный размер (м), например, высота вертикальной стенки или диаметр трубы;
• \(\nu\) — кинематическая вязкость среды (м²/с).

Физический смысл числа Грассгофа — отношение архимедовой (подъёмной) силы к силе вязкого трения. При малых значениях Gr вязкость доминирует, и конвекция подавлена; при больших — подъёмная сила преодолевает вязкое сопротивление, и возникает интенсивное конвективное движение.

¶Связь с другими критериями подобия

Число Грассгофа часто используется в паре с числом Прандтля (Pr) для описания тепломассообмена при свободной конвекции. Произведение Gr·Pr называется числом Рэлея (Ra):

\[ Ra = Gr \cdot Pr = \frac{g \beta \Delta T L^3}{\nu \alpha} \]

где \(\alpha\) — коэффициент температуропроводности (м²/с). Число Рэлея является основным критерием, определяющим начало конвекции в слое жидкости, нагреваемом снизу (задача Релея — Бенара). Критическое значение Ra, при котором возникает конвекция, для горизонтального слоя с твёрдыми границами составляет около 1708.

В задачах смешанной конвекции (одновременное действие принудительного и свободного течения) число Грассгофа сравнивают с квадратом числа Рейнольдса (Re²). Если Gr/Re² >> 1, преобладает естественная конвекция; если Gr/Re² << 1 — принудительная.

¶Классификация режимов течения

По величине числа Грассгофа можно оценить режим свободной конвекции:

• Ламинарный режим: Gr < 10⁸ — 10⁹. Подъёмная сила относительно мала, течение упорядоченное, слоистое. Теплообмен осуществляется преимущественно теплопроводностью и конвекцией в ламинарном пограничном слое.
• Переходный режим: 10⁸ < Gr < 10¹⁰. Начинается появление вихрей и неустойчивостей.
• Турбулентный режим: Gr > 10¹⁰. Течение хаотическое, интенсивное перемешивание, теплообмен значительно возрастает.

Границы зависят от геометрии и числа Прандтля. Для газов (Pr ≈ 0,7) переход к турбулентности происходит при Gr ≈ 10⁹, для маловязких жидкостей (Pr ≈ 1–10) — при несколько больших значениях.

¶Применение

Число Грассгофа широко применяется в инженерных расчётах и научных исследованиях, связанных с естественной конвекцией:

• Теплообмен в зданиях и отоплении: расчёт теплопотерь через окна и стены, проектирование радиаторов и систем отопления, где воздух движется за счёт разности температур.
• Электроника и охлаждение: оценка эффективности пассивного охлаждения электронных компонентов (например, радиаторов без вентиляторов). Число Грассгофа позволяет определить, достаточна ли естественная конвекция для отвода тепла.
• Атомная энергетика: моделирование аварийных ситуаций, когда отключены насосы системы охлаждения, и тепло отводится только за счёт естественной циркуляции теплоносителя.
• Метеорология и океанология: описание атмосферной конвекции (образование облаков, термиков), вертикальных течений в океане.
• Геофизика: изучение конвекции в мантии Земли, движения магмы.
• Химическая технология: расчёт теплообмена в реакторах, колоннах, теплообменниках без принудительной циркуляции.
• Аэродинамика: анализ обтекания тел с учётом нагрева, например, при движении летательных аппаратов в атмосфере.

¶Примеры расчёта

¶Пример 1: Вертикальная пластина в воздухе

Рассмотрим вертикальную пластину высотой \(L = 1\) м, нагретую до температуры \(T_{пов} = 50\) °C в воздухе с температурой \(T_{окр} = 20\) °C. Свойства воздуха при средней температуре 35 °C: \(\beta = 1/308,15 \approx 0,00325\) 1/К, \(\nu = 1,65 \times 10^{-5}\) м²/с, \(g = 9,81\) м/с².

\[ \Delta T = 30 \, \text{К}, \quad Gr = \frac{9,81 \cdot 0,00325 \cdot 30 \cdot 1^3}{(1,65 \times 10^{-5})^2} \approx 3,5 \times 10^{10} \]

Полученное значение Gr > 10¹⁰, что соответствует турбулентному режиму свободной конвекции. Теплоотдача от пластины будет интенсивной.

¶Пример 2: Горизонтальный слой жидкости

Слой воды толщиной \(L = 0,01\) м, нагреваемый снизу. Разность температур \(\Delta T = 5\) К. Свойства воды при 20 °C: \(\beta = 2,07 \times 10^{-4}\) 1/К, \(\nu = 1,0 \times 10^{-6}\) м²/с, \(Pr = 7,0\).

\[ Gr = \frac{9,81 \cdot 2,07 \times 10^{-4} \cdot 5 \cdot (0,01)^3}{(1,0 \times 10^{-6})^2} \approx 1,01 \times 10^{4} \]

\[ Ra = Gr \cdot Pr = 1,01 \times 10^{4} \cdot 7,0 = 7,07 \times 10^{4} \]

Критическое число Рэлея для твёрдых границ — 1708. Полученное Ra значительно превышает критическое, следовательно, в слое возникнет конвекция.

¶Ограничения и особенности

Число Грассгофа применимо только для свободной конвекции, когда движение жидкости или газа вызвано исключительно разностью плотностей. В условиях принудительной конвекции (например, при обдуве вентилятором) число Грассгофа теряет смысл, и используется число Рейнольдса. Кроме того, формула предполагает, что коэффициент теплового расширения и вязкость постоянны, что справедливо лишь для малых перепадов температур. При больших \(\Delta T\) необходимо учитывать зависимость свойств среды от температуры, что усложняет расчёт.

Также число Грассгофа не учитывает влияние сжимаемости среды (например, в газах при больших скоростях) и эффектов, связанных с изменением давления. Для точных инженерных расчётов часто используют более сложные модели, включающие число Грассгофа как один из параметров.

¶Интересные факты

• В некоторых источниках число Грассгофа называют «критерием Грассгофа» или «числом Грасгофа» (встречается вариант написания через «с»).
• Франц Грассгоф также известен как один из основателей Общества немецких инженеров (VDI) и автор многотомного справочника по теоретической механике.
• В задачах естественной конвекции в пористых средах (например, в грунте или фильтрах) используется модифицированное число Грассгофа, в которое входит проницаемость среды.
• Число Грассгофа — один из немногих критериев подобия, в который входит ускорение свободного падения, что делает его особенно важным для задач, связанных с гравитацией (например, в космической технике, где g может быть близко к нулю, конвекция практически отсутствует).

¶Источники

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1986.
• Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. — М.: Атомиздат, 1979.
• Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи. — М.: Энергия, 1977.
• Incropera F. P., DeWitt D. P. Fundamentals of Heat and Mass Transfer. — 5th ed. — Wiley, 2002.
• Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974.