Дифференциал в математике¶
Дифференциал — в математическом анализе линейная часть приращения функции, зависящая от приращения аргумента. Понятие дифференциала является одним из центральных в математическом анализе и тесно связано с понятием производной: именно через дифференциал формулируется понятие дифференцируемости функции. В современной математике под дифференциалом понимают линейное отображение, приближающее функцию в данной точке, что позволяет обобщать понятие на функции произвольных пространств.
¶Историческая справка
Термин «дифференциал» введён Готфридом Лейбницем в конце 1670-х годов в контексте разработки дифференциального исчисления. Лейбниц обозначал приращение переменной символом dx, а дифференциал функции — dy, рассматривая их как бесконечно малые величины. Такая «бесконечно малая» трактовка была развита в работах братьев Якоба и Иоганна Бернулли, а затем строго обоснована в XIX веке.
В 1821 году Огюстен Луи Коши сформулировал определение дифференцируемости через отношение приращения функции к приращению аргумента, а в 1850-х годах Карл Вейерштрасс разработал ε-δ определение предела, позволившее дать дифференциалу строгое обоснование без использования бесконечно малых. В XX веке понятие дифференциала было обобщено на функции нормированных пространств (дифференциал Фреше и дифференциал Гаусса) и на геометрические объекты (дифференциал формы).
¶Определение
Пусть функция f вещественной переменной определена в окрестности точки x₀. Функция называется дифференцируемой в точке x₀, если её приращение можно представить в виде:
Δf = A·Δx + o(Δx),
где A — некоторое число, не зависящее от Δx, а o(Δx) — бесконечно малая по сравнению с Δx. В этом случае линейная часть приращения A·Δx и называется дифференциалом функции в точке x₀ и обозначается:
df(x₀) = A·dx,
где dx = Δx — дифференциал аргумента. Коэффициент A равен производной функции в данной точке: A = f′(x₀). Таким образом, связь между дифференциалом и производной выражается формулой:
df = f′(x)·dx.
Дифференциал обладает свойством линейности: d(αf + βg) = α·df + β·dg для любых констант α и β. Кроме того, дифференциал является инвариантным относительно выбора переменной: если y = f(u), а u = φ(x), то df = f′(u)·φ′(x)·dx — это свойство называется инвариантностью формы дифференциала.
¶Геометрический смысл
Геометрически дифференциал функции y = f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке. Если провести касательную к кривой y = f(x) в точке M(x₀, y₀), то при изменении аргумента на dx ордината касательной изменится ровно на df = f′(x₀)·dx. При этом само приращение функции Δy отличается от df на бесконечно малую второго порядка o(Δx), что иллюстрирует точность линейного приближения.
¶Дифференциалы высших порядков
Для дифференцируемой функции можно определить дифференциал второго порядка как дифференциал первого дифференциала:
d²f = d(df) = f″(x)·dx².
Аналогично вводятся дифференциалы n-го порядка:
dⁿf = f⁽ⁿ⁾(x)·dxⁿ.
Эти выражения удобно использовать в формуле Тейлора, где функция представляется в виде ряда, составленного из дифференциалов различных порядков.
¶Дифференциал функции нескольких переменных
Для функции f(x₁, x₂, …, xₙ) нескольких переменных дифференциал первого порядка определяется как сумма:
df = (∂f/∂x₁)·dx₁ + (∂f/∂x₂)·dx₂ + … + (∂f/∂xₙ)·dxₙ,
где ∂f/∂xᵢ — частные производные, а dxᵢ — дифференциалы соответствующих переменных. Функция нескольких переменных называется дифференцируемой, если её приращение можно представить в виде линейной части (приведённой суммы) плюс бесконечно малую высшего порядка. Существование всех частных производных является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости — в отличие от случая одной переменной.
¶Обобщения
В математическом анализе функций нормированных пространств различают дифференциал Фреше (сильный дифференциал) и дифференциал Гаусса (слабый дифференциал). Дифференциал Фреше — это линейное непрерывное отображение, приближающее функцию в данной точке с точностью до бесконечно малой. Дифференциал Гаусса — линейное отображение, удовлетворяющее более слабому требованию приближения. Для функций конечномерных пространств оба понятия совпадают, однако в бесконечномерных пространствах дифференциал Фреше может существовать, а дифференциал Гаусса — нет, и наоборот.
В дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений важную роль играют внешние дифференциальные формы — объекты, преобразующиеся при замене координат определённым образом. Оператор внешнего дифференциала d повышает степень формы на единицу и удовлетворяет свойству d² = 0.
¶Применение
Дифференциал применяется в физике и технике для записи дифференциальных уравнений, описывающих законы природы: уравнения теплопроводности, волнового уравнения, уравнений Навье — Стокса. В численных методах дифференциал используется при построении аппроксимаций: разностные схемы представляют собой дискретные аналоги дифференциальных уравнений. В теории вероятностей через дифференциал формулируется понятие плотности распределения, а в экономике — предельные величины (предельная полезность, предельные издержки).
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
- Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа.
- Бурнашев Ю. В. Математический анализ. Дифференциальное исчисление.
- Коши О. Л. Краткий курс математического анализа (1821).
- Вейерштрасс К. Избранные работы по математическому анализу.