Додекаэдр — правильный многогранник¶

Додекаэдр — правильный выпуклый многогранник, состоящий из двенадцати правильных пятиугольных граней, двадцати вершин и тридцати рёбер. Одна из пяти так называемых платоновых тел. В каждой вершине додекаэдра сходятся три грани, сумма плоских углов при вершине составляет 3·108° = 324°, что меньше 360°, поэтому многогранник выпуклый. Обозначение по Шлефли — {5, 3}. Додекаэдр входит в число объектов, известных с античности, и традиционно рассматривается в рамках стереометрии, геометрии и теории симметрии.

¶Основные свойства

Додекаэдр обладает набором характеристик, вытекающих из его симметрии:

При длине ребра a площадь поверхности выражается формулой S = 3√(25 + 10√5)·a², объём — V = (15 + 7√5)/4·a³. Радиус описанной сферы R = (√15 + √3)/4·a, радиус вписанной сферы r = (1/2)√((25 + 11√5)/10)·a.

Додекаэдр допускает 15 плоскостей симметрии, 20 осей вращения третьего порядка (через центры противоположных граней), 12 осей пятого порядка (через противоположные вершины) и 10 осей второго порядка (через середины противоположных рёбер). Полная группа симметрии имеет порядок 120 и включает 60 прямых и 60 непрямых преобразований.

¶Координаты вершин

В декартовой системе координат вершины додекаэдра с ребром 2/φ (где φ = (1 + √5)/2 — золотое сечение) задаются тремя типами точек:

• (±1, ±1, ±1) — 8 точек;
• (0, ±1/φ, ±φ) и циклические перестановки — 12 точек.

Всего получается 20 вершин. Связь с золотым сечением проявляется и в том, что диагональ правильного пятиугольника относительно его стороны равна φ.

¶Связь с другими телами

Додекаэдр связан множеством геометрических преобразований с остальными платоновыми телами:

• Правильный икосаэдр является дуальным додекаэдру: центры двенадцати граней додекаэдра образуют вершины икосаэдра, и наоборот.
• Додекаэдр можно вписать в куб, поместив в его двенадцать рёбер (по два на каждую грань куба) двенадцать рёбер додекаэдра. При этом восемь вершин додекаэдра совпадают с вершинами куба.
• Существует также малый звёздный додекаэдр — невыпуклый однородный многогранник, у которого грани являются правильными пятиугольниками, пересекающими друг друга.

¶История

Додекаэдр известен с античности. Платон в трактате «Тимей» сопоставил пять правильных тел четырём стихиям, отведя додекаэдру особое место — его связывали с «эфиром» или с устройством Вселенной в целом. Евдокс Книдский (IV век до н. э.) использовал додекаэдр и другие правильные тела в астрономических моделях. Архимед занимался изучением полуправильных многогранников, продолжив линию, связанную с додекаэдром.

В эпоху Возрождения Иоганн Кеплер в «Сотнике» (1596) построил модель Солнечной системы, в которой расстояния до планет связывались с вписанными и описанными правильными телами; додекаэдр занимал в этой схеме место между орбитами Марса и Юпитера. Изображения додекаэдра встречаются на картинах Пьеро делла Франческа и в гравюре «Меланхолия I» Альбрехта Дюрера, где он изображён рядом с другими геометрическими телами.

¶Применение

В кристаллографии пентагональная симметрия додекаэдра запрещена для трёхмерных кристаллических решёток, однако пятикратная симметрия проявляется в структуре квазикристаллов, открытых в 1980-х годах.

В химии и физике молекулы, напоминающие додекаэдр, известны под названием додекагидрододекаборов (клеточные борогидриды, например B₁₂H₁₂²⁻). Классическим примером додекаэдральной молекулы является додекаэдрол (C₂₀H₂₀), синтезированный в 1982 году Лео А. Пааке и Полом Шлейкером. Каркас додекаэдра имеет также молекула лаурдана и ряд металлоорганических каркасных структур (MOF).

В биологии додекаэдральную форму имеют капсиды ряда вирусов (например, герпесвирусов), а также некоторые структуры белковых сборок.

В технике и архитектуре додекаэдр применяется как форма каркасов, декоративных элементов и спортивных снарядов (шестигранник — распространённый вид гантелей). Геодезические конструкции, основанные на додекаэдре и икосаэдре, используются при строительстве куполов.

¶Интересные факты

• Додекаэдр — единственное платоново тело, у которого число рёбер (30) кратно числу граней (12) нецелым образом.
• В 2003 году группа математиков под руководством Джеффа Уикса предположила, что в четырёхмерном пространстве-времени может существовать «ячейка додекаэдра» — доказательство этого предположения до сих пор не получено.
• Правильный додекаэдр является одним из трёх платоновых тел, которые нельзя замостить пространство без промежутков (к ним относятся также икосаэдр и тетраэдр).

¶Источники

• Клейн, Ф. «Элементарная математика с точки зрения высшей»
• Кормен, Т., Лейзерсон, К., Ривест, Р., Штейн, К. «Алгоритмы: построение и анализ»
• Кудрявцев, Л. Д. «Курс истории математики»
• Coxeter, H. S. M. «Regular Polytopes»
• Савелов, А. А. «Плоские кривые. Систематика, свойства, применения»