Двугранный угол¶

Двугранный угол — геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, имеющими общую границу — прямую, называемую ребром двугранного угла. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а общая прямая — его ребром. Двугранный угол является одним из основных понятий стереометрии и широко используется при описании взаимного расположения плоскостей в пространстве.

¶Обозначения и номенклатура

Двугранный угол обозначают, перечисляя его грани и ребро. Если грани — полуплоскости α и β, а ребро — прямая a, то двугранный угол записывают как αaβ или, в сокращённой форме, просто αβ. Иногда двугранный угол обозначают латинской буквой, например, ∠(α, β).

Различают двугранные углы, образованные полуплоскостями, и двугранные углы, образованные полуплоскостями, ограниченными параллельными прямыми (в случае, если грани — не полуплоскости, а полосы). В школьном курсе геометрии, как правило, рассматриваются двугранные углы, образованные полуплоскостями.

¶Измерение двугранного угла

Величина двугранного угла измеряется плоским углом, который образуют две лучевые линии, лежащие в гранях угла и перпендикулярные его ребру в одной и той же точке. Такой плоский угол называется плоским углом двугранного угла.

Формально: если точка A лежит на ребре двугранного угла, луч AM перпендикулярен ребру и лежит в первой грани, а луч AN перпендикулярен ребру и лежит во второй грани, то угол MAN является плоским углом двугранного угла. Величина этого угла и служит мерой двугранного угла.

Двугранный угол может быть острым, прямым, тупым или развёрнутым (равным 180°). Развёрнутый двугранный угол соответствует случаю, когда грани лежат в одной плоскости и образуют полуплоскости, дополняющие друг друга до плоскости.

¶Свойства

• Двугранный угол полностью определяется величиной его плоского угла. Двугранные углы с равными плоскими углами равны.
• Двугранный угол с плоским углом, равным 90°, называется прямым двугранным углом. Грани такого угла перпендикулярны.
• Двугранный угол с плоским углом, равным 180°, называется развёрнутым. В этом случае грани лежат в одной плоскости.
• Двугранные углы, дополняющие друг друга до развёрнутого, называются смежными двугранными углами. Их сумма равна 180°.
• Двугранные углы, образованные одной и той же полуплоскостью и двумя другими полуплоскостями, называются смежными.

¶Взаимное расположение плоскостей

Понятие двугранного угла тесно связано с задачей о взаимном расположении двух плоскостей в пространстве. Две плоскости могут:

• быть параллельными (не иметь общих точек);
• пересекаться по прямой.

В случае пересечения двух плоскостей образуется двугранный угол (или, строго говоря, два двугранных угла, дополняющих друг друга до развёрнутого). Угол между двумя пересекающимися плоскими определяется как плоский угол двугранного угла, образованного этими плоскостями.

¶Двугранный угол в многогранниках

Понятие двугранного угла играет важную роль при описании многогранников. Двугранный угол многогранника — это двугранный угол, образованный двумя гранями многогранника, имеющими общее ребро.

Для правильных многогранников значения двугранных углов являются важными характеристиками. Например:

Значения двугранных углов правильных многогранников связаны между собой и могут быть получены с помощью формул сферической тригонометрии.

¶Косинус двугранного угла

Для нахождения косинуса двугранного угла в общем случае используется формула, связывающая его с углами треугольника, лежащего в одной из граней. Если ABC — треугольник в одной грани двугранного угла с углами α, β, γ при вершинах A, B, C, и A′, B′, C′ — основания перпендикуляров, опущенных из вершин треугольника на ребро двугранного угла, то косинус двугранного угла φ выражается через углы треугольника по формуле:

cos φ = (cos γ − cos α · cos β) / (sin α · sin β)

Эта формула является аналогом закона косинусов для сферического треугольника и применяется при решении пространственных задач.

¶Применение

Двугранные углы используются в стереометрии, аналитической геометрии, а также в смежных областях:

• Стереометрия — при построении и изучении многогранников, при решении задач на взаимное расположение прямых и плоскостей.
• Аналитическая геометрия — при вычислении угла между двумя плоскостями, заданными уравнениями. Если плоскости заданы уравнениями A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0, то косинус угла между ними определяется через скалярное произведение нормальных векторов.
• Кристаллография — при описании форм кристаллов и углов между гранями.
• Архитектура и строительство — при проектировании конструкций с наклонными элементами.

¶Смежные понятия

С двугранным углом тесно связано понятие тригранного угла — фигуры, образованной тремя полуплоскостями, выходящими из одной точки. Тригранный угол является «вершиной» многогранника, а его грани — углы граней многогранника при данной вершине. Сумма плоских углов тригранного угла всегда меньше 360°.

Также выделяют многогранный угол — фигуру, образованную n полуплоскостями (n ≥ 3), выходящими из одной точки. Двугранный угол является частным случаем многогранного угла при n = 2.

¶История

Понятие двугранного угла восходит к античной геометрии. Оно встречается в трудах Евклида («Начала», книга XI), где рассматриваются основные понятия стереометрии. В дальнейшем понятие было развито в трудах по сферической тригонометрии и аналитической геометрии в XVII–XVIII веках.

¶Источники

• Атанасян Л. С. и др. Геометрия. 10–11 класс.
• Погорелов А. В. Геометрия. 7–11 класс.
• Кочетков Ю. И. Планиметрия и стереометрия.
• Энциклопедический словарь юного математика.