Единица и её статус в теории чисел¶
Единица — натуральное число, обозначаемое цифрой 1, являющееся первым и наименьшим натуральным числом, но не простым и не составным числом. Статус единицы как особого случая в арифметике является одним из фундаментальных положений теории чисел: деление на единицу не меняет число, любое натуральное число является её кратным, а множество делителей единицы состоит только из неё самой.
¶Определение простого числа
Простое число — натуральное число большее единицы, у которого имеется ровно два делителя: единица и само это число. Например, 2, 3, 5, 7, 11 — простые числа. Составным называется натуральное число большее единицы, имеющее более двух делителей: 4 = 2 × 2, 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 2 × 2.
Ключевое условие в определении простого числа — требование «больше единицы». Именно поэтому единица не попадает ни в одну из двух категорий:
- у единицы только один делитель — она сама, а для простого числа требуется ровно два;
- составное число должно иметь хотя бы один нетривиальный делитель, отличный от единицы и самого числа, чего у единицы нет.
¶Почему единица не простое число
Единица не является простым числом по нескольким взаимосвязанным причинам.
Формальное определение. Если бы единицу признали простой, теорема о единственности разложения на множители приобрела бы неоднозначность: любое число можно было бы записать как произведение единицы на себя, добавляя сколько угодно единиц в разложение. Формально 12 = 2² × 3 = 1 × 2² × 3 = 1 × 1 × 2² × 3 и так далее. Требование «ровно два делителя» исключает эту неоднозначность.
Кольцевая теория. В коммутативных кольцах простой элемент определяется как несократимый элемент, не являющийся обратимым. Единица обратима (её обратный элемент — она сама), поэтому по определению не может быть простой.
Исторический контекст. В древнегреческой математике, в частности у Евклида, единица не рассматривалась ни как простое, ни как составное число — она выделялась особо. Евклид в «Началах» доказывал теорему о единственности разложения, предполагая, что разложение на простые множители единственно с точностью до порядка множителей; это было бы невозможно, если бы единица считалась простой.
¶Единица в кольцах целых чисел
В кольце целых чисел ℤ единица — это элемент, имеющий обратный элемент, принадлежащий тому же кольцу. Таких элементов два: +1 и −1, поскольку (−1) × (−1) = 1. В более общих кольцах, например в кольце целых чисел Гаусса ℤ[i] = {a + bi : a, b ∈ ℤ}, единиц больше: ±1, ±i.
Понятие единицы играет центральную роль в алгебраической теории чисел. Класс единиц кольца целых чисел алгебраического числового поля описывается теоремой Дирихле о единицах: группа единиц имеет вид μ × ℤʳ, где μ — конечная циклическая группа корней единицы, а r — ранг, зависящий от числа вещественных и комплексных вложений поля.
¶Факториал и свойства единицы
Единица обладает рядом арифметических свойств:
- 0! = 1 и 1! = 1 (по определению факториала);
- 1ⁿ = 1 для любого натурального n;
- n⁰ = 1 для любого n ≠ 0;
- единица — единственный положительный квадратный корень из единицы в действительных числах.
¶Простые числа: краткая справка
Для контекста: первые простые числа — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Число 2 — единственное чётное простое число. Согласно теореме Евклида, простых чисел бесконечно много: если бы их было конечное множество p₁, …, pₙ, то число N = p₁ × … × pₙ + 1 не делилось бы ни на одно из них, что противоречит предположению.
По теореме о распределении простых чисел, число π(x) простых чисел не превышающих x, асимптотически равно x / ln x. В частности, среди чисел до 10⁶ примерно 7,8 % составляют простые.
¶Применение статуса единицы
Разделение натуральных чисел на простые, составные и единицу лежит в основе криптографии (алгоритм RSA использует свойства больших простых чисел), теории кодирования, дискретной математики. Понятие простого элемента обобщается на произвольные кольца и области целостности, где оно играет роль «атомов» разложения элементов.
¶Интересные факты
- Единица — единственное натуральное число, которое не является ни простым, ни составным.
- В системах счисления с разными основаниями единица всегда записывается одной цифрой, но её свойство не быть простым числом сохраняется.
- В теории графов число вершин дерева, связывающего n вершин, равно n, а число рёбер — n − 1; единица здесь играет роль «вычитаемого», определяющего связность.
¶Источники
- Новиков П. С. «Элементы математической логики»
- Винберг Э. Б. «Курс алгебры»
- Касселс Дж. В. С. «Введение в алгебраическую теорию чисел»
- Харди Г., Райт Э. «Введение в теорию чисел»
- Евклид. «Начала», книга VII