Экстремум функции¶

Экстремум функции — значение функции, которое больше (или меньше) всех остальных значений функции в некоторой окрестности точки, в которой оно достигается. Точка, в которой функция принимает экстремальное значение, называется точкой экстремума. Понятие является фундаментальным разделом математического анализа и находит применение в физике, экономике, инженерии и численных методах.

¶Определения

Пусть функция $f$ определена на промежутке $X$ и точка $x_0$ принадлежит $X$.

• Максимум: $f(x_0)$ является точкой максимума, если для всех $x$ из некоторой окрестности $x_0$ выполнено $f(x) \leq f(x_0)$.
• Минимум: $f(x_0)$ является точкой минимума, если для всех $x$ из некоторой окрестности $x_0$ выполнено $f(x) \geq f(x_0)$.

Термин «строгий максимум» используется, если неравенство строгое: $f(x) < f(x_0)$ для всех $x \neq x_0$ в окрестности. Аналогично для строгого минимума. Слово «экстремум» обычно объединяет оба случая, если не указано иное.

¶Необходимые условия экстремума

Для внутренней точки области определения, в которой функция дифференцируема, необходимым условием существования экстремума является равенство производной нулю:

$$f'(x_0) = 0$$

Точки, удовлетворяющие этому условию, называются критическими (или стационарными). Теорема Ферма устанавливает это необходимое, но не достаточное условие: производная в точке внутреннего экстремума равна нулю, однако обратное неверно — существуют функции с точками, где $f'(x) = 0$, но экстремума в них нет (например, $f(x) = x^3$ в точке $x = 0$).

¶Достаточные условия экстремума

¶Первый производный критерий

Если функция дифференцируема в окрестности точки $x_0$, где $f'(x_0) = 0$, и знак производной меняется при прохождении через $x_0$:

• слева от $x_0$ производная положительна, справа отрицательна — в точке максимум;
• слева отрицательна, справа положительна — в точке минимум;
• знак не меняется — экстремума нет.

¶Второй производный критерий

Если $f'(x_0) = 0$ и вторая производная существует в окрестности $x_0$, то:

• $f''(x_0) > 0$ — строгий минимум;
• $f''(x_0) < 0$ — строгий максимум;
• $f''(x_0) = 0$ — критерий неинформативен, требуется дополнительный анализ.

¶Критерий с использованием старшей ненулевой производной

Если в точке $x_0$ первые $n-1$ производных равны нулю, а $f^{(n)}(x_0) \neq 0$, то при нечётном $n$ знак $f^{(n)}(x_0)$ определяет вид экстремума (положительный — минимум, отрицательный — максимум), а при чётном $n$ экстремума нет.

¶Границы области определения

На концах отрезка $[a, b]$ экстремум может достигаться даже при ненулевой производной. Например, функция $f(x) = x$ на отрезке $[0, 1]$ достигает минимума в точке $x = 0$ и максимума в точке $x = 1$, хотя производная равна единице всюду. Поэтому при поиске глобальных экстремумов на отрезке необходимо отдельно проверять значения в критических точках и на границах.

¶Локальные и глобальные экстремумы

Локальный экстремум — экстремум в некоторой окрестности точки. Глобальный (или абсолютный) максимум на множестве $X$ — значение $f(x_0)$, такое что $f(x_0) \geq f(x)$ для всех $x \in X$. Каждый глобальный экстремум является локальным, но не наоборот. На непрерывной функции на отрезке глобальные максимум и минимум существуют (теорема Вейерштрасса).

¶Примеры

• $f(x) = x^2$ — минимум в точке $x = 0$ ($f'(x) = 2x$, $f''(0) = 2 > 0$).
• $f(x) = \sin x$ — бесконечное число локальных максимумов ($1$ в точках $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$) и минимумов ($-1$ в точках $\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$).
• $f(x) = x^3$ — в точке $x = 0$ производная равна нулю, но экстремума нет: функция строго возрастает.
• $f(x) = |x|$ — минимум в точке $x = 0$, где функция не дифференцируема.

¶Применение

Задачи нахождения экстремумов лежат в основе математической оптимизации. В физике принцип наименьшего действия формулируется как задача отыскания экстремума функционала. В экономике поиск максимума прибыли или минимума издержек сводится к решению соответствующих уравнений. Методы многомерного анализа (критерий Гессе, условный экстремум и метод множителей Лагранжа) расширяют перечисленные критерии на функции нескольких переменных.

¶История

Постановка задачи об экстремумах восходит к работам Пьера де Ферма (XVII век), сформулировавшего метод поиска максимумов и минимумов. Ригорозное обоснование теоремы Ферма и связь экстремумов с производной были даны в трудах Готфрида Лейбница и Исаака Ньютона. Систематическое изложение теории экстремумов содержится в учебниках по математическому анализу Г. М. Фихтенгольца, В. А. Кудрявцева и других авторов.