Экстремум — понятие математики и анализа¶

Экстремум — наибольшее или наименьшее значение функции, достигаемое ею на некотором множестве (в частности, на отрезке или в окрестности точки). Понятие экстремума относится к математическому анализу и является одним из ключевых в теории функций: именно поиск экстремумов лежит в основе задач оптимизации, анализа графиков и решения уравнений.

¶Определения и обозначения

Пусть функция $f$ определена на множестве $X$, а точка $x_0 \in X$. Точку $x_0$ называют точкой максимума функции $f$, если найдётся окрестность $U(x_0)$, в которой $f(x) \leq f(x_0)$ для всех $x \in U(x_0) \cap X$. Аналогично, $x_0$ — точка минимума, если $f(x) \geq f(x_0)$ в этой окрестности. Значение $f(x_0)$ в обоих случаях называют экстремальным значением.

Различают:

• локальный (местный) экстремум — значение, наибольшее (наименьшее) в некоторой окрестности точки;
• глобальный (глобальный) экстремум — наибольшее (наименьшее) значение функции на всём множестве определения.

Глобальный максимум является в том числе локальным, но обратное неверно. Точка, в которой функция достигает глобального экстремума, называется точкой глобального максимума (минимума).

¶Необходимое условие экстремума

Для дифференцируемой функции в внутренней точке области определения необходимым условием экстремума является равенство производной нулю:

$$f'(x_0) = 0.$$

Точки, удовлетворяющие этому условию, называют критическими (или стационарными). Следует подчеркнуть, что условие $f'(x_0) = 0$ необходимо, но не достаточно: производная может обращаться в нуль и в точках, не являющихся экстремумами (например, $f(x) = x^3$ в нуле).

¶Достаточные условия экстремума

¶Первый признак

Если функция дифференцируема в точке $x_0$ и меняет знак производной при прохождении через $x_0$ (с «+» на «−» или наоборот), то точка является точкой экстремума. Смена знака с «+» на «−» соответствует максимуму, с «−» на «+» — минимуму.

¶Второй признак

Если $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0)$ существует, то:

• при $f''(x_0) < 0$ в точке $x_0$ достигается локальный максимум;
• при $f''(x_0) > 0$ — локальный минимум;
• при $f''(x_0) = 0$ признак не работает, требуется анализ старших производных.

¶Признак Лагранжа

Если $f'(x_0) = 0$, $f''(x_0) = \dots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$, а $f^{(n)}(x_0) \neq 0$, то при чётном $n$ точка $x_0$ является точкой экстремума (максимум при $f^{(n)}(x_0) < 0$, минимум — при положительной производной), а при нечётном $n$ — не является.

¶Экстремумы функций многих переменных

Для функции $f(x_1, \dots, x_n)$ необходимым условием экстремума в внутренней точке является равенство нулю всех частных производных первой степени (градиента):

$$\frac{\partial f}{\partial x_1} = \dots = \frac{\partial f}{\partial x_n} = 0.$$

Достаточное условие формулируется через матрицу вторых производных (гессиан): если гессиан положительно определён, точка является точкой минимума, отрицательно определён — максимума; при неопределённом знаке признак не работает.

¶Экстремумы функций на множествах

Если областью определения служит произвольное множество (например, отрезок $[a, b]$), то экстремум может достигаться как во внутренней точке, так и на границе. Для непрерывной функции на отрезке теорема Вейерштрасса гарантирует существование и глобального максимума, и глобального минимума.

¶Применение

Поиск экстремумов применяется в широком круге задач:

• Оптимизация — нахождение наилучших (наименьших или наибольших) значений целевых функций в технике, экономике, управлении;
• Анализ графиков — определение точек перегиба, направлений возрастания и убывания;
• Физика и механика — принцип наименьшего действия, условия равновесия;
• Математическая статистика — метод наименьших квадратов, поиск максимума правдоподобия.

¶Историческая справка

Проблема поиска максимумов и минимумов решалась ещё в античности (например, задача о наивысшей точке траектории брошенного тела). В XVII веке Пьер де Ферма предложил метод обращения в нуль производной для поиска экстремумов. Позднее, в XVIII–XIX веках, Жозеф Лагранж, Карл Вейерштрасс и другие математики сформулировали строгие теоремы о существовании и условиях экстремума, заложив основы вариационного исчисления и математической оптимизации.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том 1.
• Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа. Том 1.
• Ильин В. А., Садовничий В. А., Соболевский А. Д. Лекции по математическому анализу.
• Бордичук В. А. Математический анализ.