Эксцентриситет — понятие в астрономии и математике¶

Эксцентриситет (от лат. excentricitas — отклонение от центра) — безразмерный параметр, характеризующий степень отклонения орбиты планеты, кометы или другого космического тела от окружности; в аналитической геометрии — характеристика конического сечения, определяющая его форму. Эксцентриситет обозначается символом e и является одним из шести орбитальных элементов, по которым определяется положение и форма орбиты тела в космическом пространстве.

¶Определение и математическая сущность

В аналитической геометрии коническое сечение (окружность, эллипс, парабола, гипербола) определяется как множество точек, расстояние до которых (фокусное расстояние) относится к расстоянию до некоторой прямой (директории) как постоянная величина — эксцентриситет. Формально:

e = r / d, где r — расстояние от точки конического сечения до фокуса, d — расстояние этой точки до директории.

Значение e однозначно определяет тип кривой:

Для эллипса эксцентриситет связан с большой полуосью a и малой полуосью b соотношением e = √(1 − b²/a²). Чем ближе e к нулю, тем эллипс ближе к окружности; при e → 1 эллипс становится вытянутым.

¶Эксцентриситет в небесной механике

В астрономии эксцентриситет описывает форму орбиты небесного тела вокруг центрального массы (Солнца, планеты, звезды). Он входит в набор классических кеплеровских орбитальных элементов наряду с большой полуосью, наклонением орбиты, долготой восходящего узла, аргументом перицентра и средней аномалией.

Согласно первому закону Кеплера (1609 год), орбиты планет Солнечной системы представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Эксцентриситет определяет, насколько этот эллипс отличается от окружности. Для большинства планет Солнечной системы эксцентриситет невелик:

Наименьший эксцентриситет среди планет Солнечной системы у Венеры, наибольший — у Меркурия (среди восьми классических планет). У комет эксцентриситет, как правило, значительно больше единицы: многие долгопериодические кометы движутся по почти параболическим орбитам (e ≈ 1), а гиперболические орбиты (e > 1) характерны для межзвёздных объектов, проходящих через Солнечную систему — таких, как 1I/Оумуамуа (2017) и 2I/Борисов (2019).

¶Эксцентриситет и расстояние до центрального тела

Для тела на эллиптической орбите эксцентриситет определяет разницу между минимальным и максимальным расстоянием до центрального тела. Перигелий (ближайшая к Солнцу точка орбиты) и афелий (наиболее удалённая) связаны с большой полуосью a и эксцентриситетом:

• r_min = a(1 − e) — расстояние в перигелии;
• r_max = a(1 + e) — расстояние в афелии.

Для Земли эта разница составляет около 5 млн км: в перигелии (начало января) Земля находится на расстоянии примерно 147,1 млн км от Солнца, в афелии (начало июля) — около 152,1 млн км. Сезонные различия в расстоянии до Солнца, однако, не являются причиной смены времён года — эту роль играет наклонение земной оси.

¶Изменение эксцентриситета во времени

Эксцентриситет орбиты не является строго постоянной величиной. Под действием гравитационных возмущений со стороны других планет эксцентриситет орбиты меняется со временем. У Земли эксцентриситет колеблется в пределах примерно от 0,0034 до 0,058 с периодом около 100 тысяч лет — это один из климатических параметров, входящих в циклы Миланковича, связанные с долгопериодическими изменениями условий инсоляции и, как предполагается, с чередованием ледниковых и межледниковых эпох.

У Меркурия эксцентриситет орбиты подвергается заметным изменениям под влиянием приливного взаимодействия с Солнцем и гравитационных возмущений от других планет.

¶Применение понятия

Понятие эксцентриситета используется в астродинамике при расчёте орбит космических аппаратов, в задачах орбитального маневрирования, при определении условий выхода тела на гелиоцентрическую или гиперболическую траекторию. Так, для выхода с орбиты Земли на траекторию полёта к другой планете требуется сообщить аппарату дополнительную скорость, изменяющую эксцентриситет его орбиты относительно Солнца.

В технике термин «эксцентриситет» применяется также в кинематике: эксцентриковый механизм — механизм, в котором возвратно-поступательное или вращательное движение создаётся с помощью кривошипа (эксцентрика), смещённого относительно оси вращения вала. Величина смещения центра эксцентрика от оси вала называется эксцентриситетом кривошипа и определяет ход штока.

¶Историческая справка

Идея эксцентрических окружностей — круговых траекторий, центры которых смещены относительно центра Земли, — использовалась в античной астрономии (Аполлоний Пергский, Гиппарх, Птолемей) для объяснения неравномерности видимого движения Солнца и Луны. В этих моделях понятие «эксцентриситет» означало расстояние между центром Земли и центром окружности, по которой двигалось небесное тело. Переход к эллиптическим орбитам произошёл после работ Иоганна Кеплера: в «Астрономии новой» (1609) он сформулировал первый закон, согласно которому планеты движутся по эллипсам с Солнцем в одном из фокусов.

¶Источники

• Кеплер И. Астрономия нова (1609)
• Морозов А. И. Курс общей астрономии
• Сурдин В. Г. Астрономия: учебник для вузов
• Барбушин М. С., Ершов В. А. Небесная механика: учебное пособие
• Шор Н. А. Математический словарь