Эксцентриситет в математике и астрономии¶

Эксцентриситет — числовая характеристика геометрического объекта, показывающая меру его отклонения от окружности или от идеально круговой формы. В математике термин применяется прежде всего к коническим сечениям — эллипсу, параболе и гиперболе, а в астрономии и небесной механике — к орбитам небесных тел. Эксцентриситет обозначается латинской буквой e (реже ε) и является безразмерной величиной.

Для конического сечения эксцентриситет определяется как отношение расстояния от произвольной точки кривой до фокуса к расстоянию от той же точки до соответствующей директрисы. Это отношение постоянно для каждой кривой и полностью определяет её форму.

¶Значения и классификация

Величина эксцентриситета однозначно задаёт тип конического сечения:

Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса с совпадающими фокусами. Чем ближе e к нулю, тем ближе эллипс к окружности; чем ближе к единице, тем более вытянутой становится кривая.

¶Эксцентриситет эллипса

Для эллипса с большой полуосью a и малой полуосью b эксцентриситет вычисляется по формуле:

e = √(1 − b²/a²) = c/a,

где c — расстояние от центра до фокуса (фокальное расстояние). Величина e лежит в пределах от 0 до 1.

С эксцентриситетом связаны и другие параметры эллипса: фокальный параметр p = a(1 − e²), расстояние от центра до директрисы a/e. При e = 0 директриса уходит в бесконечность, что соответствует окружности.

¶Эксцентриситет гиперболы

Для гиперболы с действительной полуосью a и мнимой полуосью b:

e = √(1 + b²/a²) = c/a,

где c — расстояние от центра до фокуса, причём c > a. Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы. Асимптоты гиперболы и её ветви тем сильнее расходятся, чем больше e.

¶Эксцентриситет в полярных координатах

Все конические сечения описываются единым уравнением в полярных координатах относительно фокуса:

r = p / (1 + e·cos θ),

где r — расстояние до фокуса, θ — полярный угол, p — фокальный параметр. Это уравнение наглядно показывает роль эксцентриситета: при e = 0 получается окружность, при e < 1 — эллипс, при e = 1 — парабола, при e > 1 — гипербола.

¶Эксцентриситет орбит

В небесной механике эксцентриситет орбиты характеризует степень её вытянутости. Согласно первому закону Кеплера, планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Эксцентриситет земной орбиты составляет около 0,0167 — орбита Земли близка к круговой. У Марса e ≈ 0,093, у Меркурия e ≈ 0,206, у Плутона e ≈ 0,249.

Для искусственных спутников Земли различают почти круговые орбиты (малый эксцентриситет) и сильно вытянутые эллиптические, в том числе высокоэллиптические типа «Молния». Эксцентриситет орбиты влияет на скорость движения тела: согласно второму закону Кеплера, вблизи перицентра тело движется быстрее, чем вблизи апоцентра.

В астрономии различают также эксцентриситеты орбит комет. У многих комет они близки к единице или превышают её, что соответствует почти параболическим и гиперболическим траекториям.

¶История понятия

Свойства конических сечений изучал ещё Аполлоний Пергский (III век до н. э.), однако само понятие эксцентриситета в близком к современному виде сформировалось в XVII веке. Иоганн Кеплер, анализируя наблюдения Тихо Браге, установил эллиптичность планетных орбит. В дальнейшем аппарат конических сечений был развит в работах Рене Декарта, Пьера Ферма и других математиков, а единое уравнение через эксцентриситет закрепилось в аналитической геометрии.

¶Родственные понятия

Помимо эксцентриситета конических сечений, в науке используются сходные по смыслу величины. В астрономии и геодезии применяются параметры, описывающие форму эллипсоида вращения, — сжатие и первый эксцентриситет, связанные с отношением полуосей. В теории эллиптических орбит вводят эксцентрическую аномалию — угловой параметр, связывающий положение тела на орбите с её геометрией. В инженерных расчётах эксцентриситетом называют также смещение оси или точки приложения силы относительно центра сечения конструкции.

¶Значение

Эксцентриситет служит универсальным параметром, объединяющим окружность, эллипс, параболу и гиперболу в единое семейство конических сечений. В астрономии он позволяет классифицировать орбиты и прогнозировать движение тел, в оптике — описывать форму зеркал и линз, в инженерии — оценивать устойчивость и прочность конструкций. Благодаря простой геометрической интерпретации эксцентриситет остаётся одним из базовых понятий аналитической геометрии и небесной механики.

Источники: учебники по аналитической геометрии, курсы небесной механики, астрономические справочники, математические энциклопедии.