Эллипс как геометрическая фигура¶

Эллипс — плоская замкнутая кривая, получаемая как множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна и больше расстояния между фокусами. Эллипс относится к кривым второго порядка и является одним из основных объектов аналитической геометрии; окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого фокусы совпадают.

¶Определение и основные понятия

Пусть на плоскости заданы две точки F₁ и F₂ — фокусы, расстояние между которыми равно 2c. Эллипсом называется геометрическое место точек M, для которых выполняется условие:

|MF₁| + |MF₂| = 2a,

где a > c. Величина a называется большой полуосью, c — фокальным расстоянием. Отношение e = c/a (0 ≤ e < 1) носит название эксцентриситета и характеризует «вытянутость» эллипса: чем ближе e к нулю, тем ближе фигура к окружности; чем ближе к единице, тем более эллипс вытянут.

Малая полуось b связана с a и c соотношением b² = a² − c². Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинами; отрезок длиной 2a, проходящий через фокусы, — большой осью, перпендикулярный ему отрезок 2b — малой осью.

¶Каноническое уравнение

В декартовой системе координат с центром в центре эллипса и осью абсцисс вдоль большой оси уравнение эллипса имеет канонический вид:

x²/a² + y²/b² = 1.

Из него непосредственно следуют свойства симметрии: эллипс симметричен относительно обеих координатных осей и относительно начала координат. Площадь, ограниченная эллипсом, вычисляется по формуле S = πab, что обобщает формулу площади круга πR².

¶Директрисы и оптическое свойство

Каждому фокусу соответствует директриса — прямая, расположенная на расстоянии a/e от центра. Эллипс можно определить и как множество точек, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету.

Важным является оптическое (фокальное) свойство: луч света или звука, вышедший из одного фокуса, после отражения от эллиптической поверхности проходит через второй фокус. Это свойство лежит в основе конструкции «комнат шёпота» и эллиптических зеркал.

¶Параметрическое задание и длина дуги

Параметрически эллипс задаётся уравнениями x = a·cos t, y = b·sin t, где t — параметр (не равный полярному углу). Длина дуги эллипса выражается через эллиптические интегралы и не имеет элементарного выражения; приближённо периметр вычисляется по формулам Рамануджана или через полный эллиптический интеграл второго рода.

¶Связь с коническими сечениями

Эллипс — одно из конических сечений: он получается при пересечении прямого кругового конуса плоскостью, которая пересекает все его образующие и не параллельна ни одной из них. Если секущая плоскость параллельна основанию конуса, сечение является окружностью. Другие конические сечения — парабола и гипербола — соответствуют иным углам наклона плоскости.

¶Применение

Эллипс широко используется в науке и технике:

• Астрономия. Согласно первому закону Кеплера, планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Эксцентриситет орбиты Земли составляет около 0,017.
• Оптика и акустика. Эллиптические зеркала и своды применяются в прожекторах, телескопах-рефлекторах, а также в архитектурных сооружениях с особыми акустическими свойствами.
• Инженерия. Эллиптические зубчатые колёса, эллиптические арки и своды, сечения труб и каналов.
• Медицина. Эллиптические траектории используются в некоторых методах лучевой терапии и диагностики.
• Графика и дизайн. Эллипс — базовая фигура в черчении, компьютерной графике и типографике.

¶Эллипс в истории математики

Кривая изучалась ещё в античности в связи с задачей о конических сечениях: Аполлоний Пергский в трактате «Конические сечения» (III век до н. э.) дал первое систематическое описание эллипса. Термин «эллипс» (от греч. ἔλλειψις — «недостаток») также восходит к Аполлонию. В XVII веке Иоганн Кеплер установил эллиптичность планетных орбит, а Рене Декарт и Пьер Ферма заложили основы аналитического описания кривых. Вклад в теорию внесли Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс и Адриен Мари Лежандр, изучавшие эллиптические интегралы.

¶Родственные понятия

С эллипсом тесно связаны эллипсоид (поверхность в трёхмерном пространстве), эллиптическая поляризация света, эллиптические функции и эллиптические кривые, применяемые в криптографии. Обобщением служат кривые второго порядка в n-мерных пространствах.

Источники: Аполлоний Пергский «Конические сечения»; учебники по аналитической геометрии; материалы по истории математики; справочники по астрономии и оптике.