Формула Аполлония для медианы треугольника¶

Формула Аполлония для медианы треугольника — теорема евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между длиной медианы треугольника и длинами его сторон. Для треугольника \(ABC\) со сторонами \(a = BC\), \(b = CA\), \(c = AB\) и медианой \(m_a\), проведённой из вершины \(A\) к стороне \(BC\), формула имеет вид:

\[ m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \]

Эквивалентная форма записи: \(b^2 + c^2 = 2(m_a^2 + \frac{a^2}{4})\), где \(\frac{a}{2}\) — половина стороны, к которой проведена медиана. Теорема названа в честь древнегреческого математика Аполлония Пергского (около 262 — около 190 гг. до н. э.), хотя известна была ещё ранее, в частности применялась Архимедом.

¶Формулировка и следствия

Для каждой из трёх медиан треугольника выполняются аналогичные равенства:

\[ m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}, \qquad m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4} \]

Из формулы непосредственно выводятся несколько важных следствий:

• Сумма квадратов медиан: складывая три равенства, получают \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)\) — сумма квадратов медиан равна трём четвертям суммы квадратов сторон.
• Длина медианы: формула позволяет вычислить медиану по трём сторонам без дополнительных построений: \(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}\).
• Частный случай — равнобедренный треугольник: при \(b = c\) формула упрощается до \(m_a = \frac{1}{2}\sqrt{4b^2 - a^2}\), что совпадает с теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного медианой, половиной основания и боковой стороной.

¶История

Аполлоний Пергский, известный трудами по коническим сечениям, систематизировал и доказал множество теорем геометрии треугольника. Формула медианы приведена в его работе «О беспорядочных сечениях» (др.-греч. Περὶ διωρισμένης τομῆς), которая сохранилась лишь в пересказах поздних комментаторов, в частности Паппа Александрийского. В современной математике теорема часто рассматривается как частный случай теоремы Стюарта (1746), которая обобщает соотношение для произвольного отрезка, проведённого из вершины к противолежащей стороне.

¶Доказательства

Существует несколько классических способов доказательства формулы Аполлония.

¶Через теорему косинусов

Пусть \(M\) — середина стороны \(BC\), \(AM = m_a\). Обозначим \(\angle AMB = \theta\). Тогда \(\angle AMC = 180^\circ - \theta\). По теореме косинусов для треугольников \(AMB\) и \(AMC\):

\[ c^2 = m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 m_a \cdot \frac{a}{2} \cos\theta \]

\[ b^2 = m_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 m_a \cdot \frac{a}{2} \cos(180^\circ - \theta) = m_a^2 + \frac{a^2}{4} + m_a a \cos\theta \]

Складывая оба равенства, получают \(b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2}\), откуда следует искомая формула.

¶Через метод координат

Поместив начало координат в точку \(M\), а ось \(x\) направив вдоль \(BC\), получают координаты вершин: \(B(-\frac{a}{2}; 0)\), \(C(\frac{a}{2}; 0)\), \(A(x; y)\). Тогда:

\[ b^2 = (x - \frac{a}{2})^2 + y^2, \qquad c^2 = (x + \frac{a}{2})^2 + y^2 \]

Складывая, получают \(b^2 + c^2 = 2x^2 + 2y^2 + \frac{a^2}{2} = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2}\), так как \(m_a^2 = x^2 + y^2\).

¶Через теорему Стюарта

Теорема Стюарта утверждает, что для отрезка \(d\) из вершины \(A\) в точку \(D\) на стороне \(BC\), делящей её на части \(m\) и \(n\) (так что \(a = m + n\)), выполняется \(b^2 m + c^2 n = a(d^2 + mn)\). При \(m = n = \frac{a}{2}\) (медиана) получают \(\frac{a}{2}(b^2 + c^2) = a(m_a^2 + \frac{a^2}{4})\), что после сокращения на \(a\) даёт формулу Аполлония.

¶Обобщения и связь с другими теоремами

• Векторная форма: если \(\vec{AB} = \mathbf{u}\), \(\vec{AC} = \mathbf{v}\), то \(\vec{AM} = \frac{\mathbf{u} + \mathbf{v}}{2}\), и \(m_a^2 = \frac{|\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 + 2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{4}\), что эквивалентно скалярной форме.
• Параллелограмм: формула Аполлония эквивалентна тождеству параллелограмма — сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырёх сторон. Если достроить треугольник \(ABC\) до параллелограмма \(ABDC\), то медиана \(AM\) окажется половиной диагонали \(AD\), а стороны \(AB\) и \(AC\) — сторонами параллелограмма.
• Трёхмерный случай: в пространстве аналогом служит теорема о медиане тетраэдра (отрезке, соединяющем вершину с центроидом противоположной грани), которая выражается через сумму квадратов рёбер.

¶Применение

Формула Аполлония широко используется в:

• Вычислительной геометрии — для нахождения длин медиан и проверки существования треугольника по трём медианам (условие: сумма любых двух медиан больше третьей).
• Аналитической геометрии — при решении задач на нахождение геометрических мест точек, например, множества точек, для которых сумма квадратов расстояний до двух фиксированных точек постоянна (окружность Аполлония).
• Теории вероятностей и статистике — тождество параллелограмма, эквивалентное формуле, лежит в основе метода наименьших квадратов и понятия дисперсии.
• Физике — при вычислении момента инерции стержня относительно оси, проходящей через его середину (теорема Гюйгенса — Штейнера является обобщением аналогичного соотношения).

¶Литература

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978.
• Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2006.
• Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 1. — М.: Учпедгиз, 1948.