Формула дополнения

Формула дополнения — это тождество, связывающее значения гамма-функции в точках \(z\) и \(1-z\). В наиболее распространённой форме для комплексной переменной \(z\), не являющейся целым числом, она записывается как:

\[ \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}, \]

где \(\Gamma(z)\) — гамма-функция Эйлера, а \(\sin(\pi z)\) — синус комплексного аргумента. Формула является частным случаем более общих функциональных соотношений для гамма-функции и играет фундаментальную роль в теории специальных функций, комплексном анализе и математической физике.

История

Формула дополнения была впервые получена Леонардом Эйлером в середине XVIII века в ходе его исследований свойств гамма-функции, которую он ввёл как обобщение факториала на нецелые значения. Эйлер вывел тождество, используя интегральное представление гамма-функции и свойства бета-функции. Впоследствии формула была строго обоснована в рамках комплексного анализа, в частности, через теорию вычетов и разложение в бесконечное произведение.

В современной математике формула дополнения часто используется как одно из ключевых тождеств при доказательстве других свойств гамма-функции, например, её мероморфности и расположения полюсов.

Формулировка

Пусть \(z\) — комплексное число, не равное целому числу (то есть \(z \notin \mathbb{Z}\)). Тогда справедливо равенство:

\[ \Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}. \]

Для целых значений \(z\) обе части тождества имеют полюсы: левая часть — из-за полюсов гамма-функции, правая — из-за нулей синуса. В этих точках формула понимается в смысле предельного перехода или аналитического продолжения.

Частные случаи

• При \(z = \frac{1}{2}\):

\[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{\sin(\pi/2)} = \pi, \] откуда следует известное значение \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\).

• При \(z = \frac{1}{3}\):

\[ \Gamma\left(\frac{1}{3}\right) \Gamma\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\pi}{\sin(\pi/3)} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}. \]

Доказательства

Через интегральное представление

Одно из классических доказательств использует бета-функцию Эйлера:

\[ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}. \]

Полагая \(x = z\), \(y = 1-z\), получаем:

\[ B(z, 1-z) = \int_0^1 t^{z-1} (1-t)^{-z} dt = \frac{\Gamma(z) \Gamma(1-z)}{\Gamma(1)} = \Gamma(z) \Gamma(1-z). \]

Интеграл вычисляется заменой переменной \(t = \frac{u}{1+u}\), что приводит к выражению:

\[ \int_0^\infty \frac{u^{z-1}}{1+u} du = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}, \]

которое является стандартным интегралом, известным как интеграл Коши.

Через бесконечное произведение

Гамма-функция может быть представлена бесконечным произведением Вейерштрасса:

\[ \frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n}, \]

где \(\gamma\) — постоянная Эйлера — Маскерони. Используя это представление для \(\Gamma(z)\) и \(\Gamma(1-z)\), можно получить тождество, сводящееся к произведению синуса.

Через теорию вычетов

Формула дополнения также выводится из рассмотрения мероморфной функции \(f(z) = \Gamma(z) \Gamma(1-z) \sin(\pi z)\). Показывается, что эта функция не имеет полюсов и ограничена, а значит, по теореме Лиувилля является константой. Вычисление константы при \(z = \frac{1}{2}\) даёт \(\pi\).

Свойства и следствия

Полюсы гамма-функции

Из формулы дополнения следует, что гамма-функция имеет простые полюсы в точках \(z = 0, -1, -2, \dots\). Действительно, при \(z = -n\) (\(n \in \mathbb{N}_0\)) правая часть обращается в бесконечность, а \(\Gamma(1-z) = \Gamma(n+1) = n!\) конечно, следовательно, \(\Gamma(z)\) имеет полюс.

Связь с тригонометрическими функциями

Формула дополнения устанавливает глубокую связь между гамма-функцией и тригонометрическими функциями, что используется при вычислении многих интегралов и сумм.

Обобщения

Существуют обобщения формулы дополнения для других специальных функций, например:

• Для дзета-функции Римана: функциональное уравнение \(\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)\).
• Для гамма-функции Гаусса (q-гамма-функции): \(\Gamma_q(z) \Gamma_q(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \frac{q^{z(1-z)/2}}{(1-q)^{1-2z}} \prod_{n=1}^\infty \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{n+z}}\).

Применение

Вычисление интегралов

Формула дополнения используется для вычисления определённых интегралов, содержащих степенные и тригонометрические функции. Например:

\[ \int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{1+x} dx = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}, \quad 0 < a < 1. \]

Теория вероятностей

В статистике и теории вероятностей формула дополнения применяется при работе с гамма-распределением и бета-распределением, в частности, при вычислении моментов и функций распределения.

Математическая физика

В квантовой механике и квантовой теории поля формула дополнения возникает при регуляризации расходящихся интегралов и в вычислениях, связанных с пропагаторами и вершинными функциями.

Теория чисел

В аналитической теории чисел формула дополнения используется при доказательстве функционального уравнения для дзета-функции Римана, что является ключевым шагом в изучении распределения простых чисел.

Интересные факты

• Формула дополнения является частным случаем более общего тождества для гамма-функции, известного как формула отражения.
• При \(z = \frac{1}{2}\) формула даёт значение \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\), которое является одним из немногих точных значений гамма-функции для рациональных аргументов.
• Формула дополнения может быть использована для доказательства иррациональности \(\pi\) (при некоторых дополнительных рассуждениях).

Источники

• Эйлер Л. «Введение в анализ бесконечных». — М.: Физматлит, 1961.
• Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. «Курс современного анализа». — М.: Физматлит, 1963.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. «Высшие трансцендентные функции». — М.: Наука, 1973.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. «Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений». — М.: Физматлит, 1963.