Формула удвоения Лежандра

Формула удвоения Лежандра — это тождество для гамма-функции, связывающее значение гамма-функции в точке \( z \) со значениями в точках \( \frac{z}{2} \) и \( \frac{z+1}{2} \). Формула является частным случаем более общей теоремы умножения для гамма-функции и играет важную роль в аналитической теории чисел, теории специальных функций и математической физике.

Формулировка

Формула удвоения Лежандра имеет вид:

\[ \Gamma(z) \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \sqrt{\pi} \, \Gamma(2z) \]

где \( \Gamma(z) \) — гамма-функция Эйлера, определённая для всех комплексных чисел \( z \), за исключением целых неположительных чисел (\( z \neq 0, -1, -2, \dots \)). Тождество выполняется для всех комплексных \( z \), для которых обе части определены. В эквивалентной форме формулу можно записать как:

\[ \Gamma(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma(z) \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) \]

История

Формула была впервые получена французским математиком Адриеном Мари Лежандром (1752–1833) в его работе «Упражнения по интегральному исчислению» (фр. Exercices de calcul intégral, 1811–1817). Лежандр систематизировал и развил теорию гамма-функции, введённой ранее Леонардом Эйлером, и вывел ряд тождеств, включая формулу удвоения. Впоследствии формула была обобщена Карлом Фридрихом Гауссом до так называемой теоремы умножения (или формулы умножения Гаусса) для гамма-функции.

Доказательство

Формула удвоения Лежандра может быть доказана несколькими способами, наиболее распространённые из которых — через бета-функцию и через произведение Вейерштрасса.

Доказательство через бета-функцию

Бета-функция Эйлера определяется как:

\[ B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt \]

Рассмотрим \( B(z, z) \):

\[ B(z, z) = \frac{\Gamma(z) \Gamma(z)}{\Gamma(2z)} = \int_0^1 t^{z-1} (1-t)^{z-1} dt \]

С помощью замены переменной \( t = \frac{1+u}{2} \) (или \( t = \sin^2 \theta \)) интеграл преобразуется к виду, содержащему \( \Gamma(z) \Gamma(z+\frac{1}{2}) \). После алгебраических преобразований получается искомое тождество.

Доказательство через произведение Вейерштрасса

Гамма-функция может быть представлена бесконечным произведением (формула Вейерштрасса):

\[ \frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n} \]

где \( \gamma \) — постоянная Эйлера—Маскерони. Подставляя \( z \), \( z+\frac{1}{2} \) и \( 2z \) в это произведение и сравнивая полученные выражения, можно вывести формулу удвоения.

Связь с другими функциями

Формула удвоения Лежандра тесно связана с другими специальными функциями:

• Гамма-функция: является основным объектом тождества.
• Бета-функция: используется в доказательстве и сама удовлетворяет подобным соотношениям.
• Дзета-функция Римана: формула применяется при аналитическом продолжении дзета-функции и доказательстве её функционального уравнения.
• Эллиптические интегралы: Лежандр использовал формулу при приведении эллиптических интегралов к каноническому виду.
• Полигамма-функции: для логарифмической производной гамма-функции (дигамма-функции) из формулы удвоения следует соотношение: \( \psi(2z) = \frac{1}{2} \psi(z) + \frac{1}{2} \psi(z+\frac{1}{2}) + \ln 2 \).

Обобщения

Формула умножения Гаусса

Для произвольного натурального числа \( n \) формула умножения Гаусса имеет вид:

\[ \prod_{k=0}^{n-1} \Gamma\left(z + \frac{k}{n}\right) = (2\pi)^{\frac{n-1}{2}} n^{\frac{1}{2} - nz} \Gamma(nz) \]

При \( n = 2 \) это тождество сводится к формуле удвоения Лежандра, так как \( \sqrt{\pi} = \Gamma(1/2) \).

q-аналог

В квантовом анализе существует q-аналог формулы удвоения для q-гамма-функции, введённый Ф. Х. Джексоном. Он имеет вид:

\[ \Gamma_q(2z) = \frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi_q}} \Gamma_q(z) \Gamma_q\left(z + \frac{1}{2}\right) \]

где \( \sqrt{\pi_q} = \frac{(q; q)_\infty}{(q^2; q^2)_\infty} \) — q-аналог числа \( \sqrt{\pi} \).

Применение

Формула удвоения Лежандра находит применение в различных областях математики и физики:

• Теория чисел: при вычислении значений дзета-функции Римана в целых точках, в частности, \( \zeta(2n) \).
• Статистическая физика: в вычислениях статистических сумм для некоторых моделей (например, модель Изинга).
• Квантовая механика: при нормировке волновых функций гармонического осциллятора.
• Теория вероятностей: при выводе плотности распределения хи-квадрат и связанных с ним распределений.
• Комбинаторика: в асимптотических оценках с использованием формулы Стирлинга, которая выводится из свойств гамма-функции.

Примеры использования

1. Вычисление значений гамма-функции в полуцелых точках:

Из формулы удвоения при \( z = \frac{1}{2} \) получаем: \[ \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma(1) = 2^{0} \sqrt{\pi} \Gamma(1) \Rightarrow \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} \] Далее, при \( z = 1 \): \[ \Gamma(1) \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = 2^{-1} \sqrt{\pi} \Gamma(2) \Rightarrow \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \] Таким образом, можно последовательно получить все значения \( \Gamma(n + \frac{1}{2}) \).

1. Упрощение интегралов:

Интеграл вида \( \int_0^{\pi/2} \sin^{2z-1} \theta \cos^{2z-1} \theta \, d\theta \) выражается через бета-функцию, и с помощью формулы удвоения его можно свести к гамма-функции от \( z \).

Источники

1. Лежандр А. М. Exercices de calcul intégral. — Париж, 1811–1817.
2. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. — М.: Физматлит, 1963. — Т. 2.
3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1965. — Т. 1.
4. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматлит, 1971.
5. Andrews G. E., Askey R., Roy R. Special Functions. — Cambridge University Press, 1999.