Формула усечённой пирамиды¶

Усечённая пирамида — это многогранник, полученный из пирамиды отсечением её верхней части плоскостью, параллельной основанию. Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычисляется по формуле, связывающей площади оснований и периметр среднего сечения, и является одной из стандартных задач стереометрии школьной программы.

¶Определение и обозначения

Усечённая пирамида имеет два основания — нижнее и верхнее — являющихся подобными многоугольниками, и боковые грани в виде трапеций. Обозначим:

• $S_1$ — площадь нижнего основания;
• $S_2$ — площадь верхнего основания;
• $P_1$ — периметр нижнего основания;
• $P_2$ — периметр верхнего основания;
• $P_{ср}$ — периметр среднего сечения;
• $h$ — высота усечённой пирамиды;
• $l$ — апофема (высота боковой грани-трапеции).

¶Формула площади боковой поверхности

Основная формула для площади боковой поверхности усечённой пирамиды:

$$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot l$$

Здесь $l$ — апофема, то есть высота трапеции, являющейся боковой гранью. Формула аналогична формуле площади боковой поверхности цилиндра и отражает тот факт, что средняя длина боковой грани умножается на её высоту.

Для правильной усечённой пирамиды (основания — правильные многоугольники, боковые грани — равные трапеции) формулу можно записать через площади оснований:

$$S_{бок} = \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot l$$

Поскольку для правильных оснований периметр пропорционален стороне, а сторона — квадратному корню из площади, при подобии оснований со стороной $a_1$ и $a_2$ имеем $P_1 : P_2 = a_1 : a_2 = \sqrt{S_1} : \sqrt{S_2}$.

¶Формула через среднее сечение

Через периметр среднего сечения $P_{ср}$ площадь боковой поверхности выражается так:

$$S_{бок} = P_{ср} \cdot l$$

Среднее сечение усечённой пирамиды — сечение, проходящее через середины всех боковых рёбер. Его площадь $S_{ср}$ равна среднему геометрическому площадей оснований:

$$S_{ср} = \sqrt{S_1 \cdot S_2}$$

Для правильной усечённой пирамиды периметр среднего сечения равен $P_{ср} = \frac{P_1 + P_2}{2}$, и обе формулы совпадают.

¶Общая формула площади поверхности

Полная площадь поверхности усечённой пирамиды:

$$S = S_1 + S_2 + \frac{P_1 + P_2}{2} \cdot l$$

¶Формула объёма

Объём усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$$V = \frac{h}{3} \left( S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2} \right)$$

Эта формула является обобщением формулы объёма пирамиды: при $S_2 = 0$ (вырожденный случай полной пирамиды) выражение превращается в $V = \frac{h}{3} S_1$. Формула объёма усечённой пирамиды была известна ещё в Древнем Египте и применялась при расчёте объёма зерновых амбаров и строительных материалов.

¶Соотношение сторон и подобие

Если усечённая пирамида получена из пирамиды с основанием площадью $S_0$ отсечением верхней части, подобной всей пирамиде с коэффициентом подобия $k$ ($0 < k < 1$), то:

$$S_2 = k^2 S_1, \quad P_2 = k P_1, \quad h_{верх} = k h_{ниж}$$

Площадь боковой поверхности при этом:

$$S_{бок} = \frac{P_1(1 + k)}{2} \cdot l$$

¶Применение

Формулы усечённой пирамиды применяются в строительстве (расчёт объёма бетонных фундаментов трапециевидного сечения, земляных насыпей), в сельском хозяйстве (объёмы силосных ям, зернохранилищ), в горном деле (объёмы выемки породы) и в геодезии. В школьном курсе геометрии задачи на усечённую пирамиду входят в обязательную часть ЕГЭ по математике.

¶Исторический справочник

Формулы объёма и площади усечённой пирамиды встречаются в трактатах древнегреческого математика Герона Александрийского (I век н. э.) и в «Началах» Евклида в виде геометрических построений. В русской математической традиции формулы усечённой пирамиды систематически излагаются со времён учебников XIX века, в частности в трудах А. Ф. Петунникова и М. Я. Виленкина.

¶Источники

• Виленкин Н. Я., Жохов В. И. Математика. 9 класс. — М.: Просвещение.
• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Геометрия. 7–11 классы. — М.: Просвещение.
• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа.
• Герон Александрийский. Метрика. — М.: Наука, 1972.