Герман Грассман¶

Герман Грассман (Герман Гюнтер Грассман, нем. Hermann Günther Grassmann; 15 апреля 1809, Штеттин — 26 сентября 1877, там же) — немецкий математик, физик, филолог и педагог. Внёс фундаментальный вклад в развитие векторного исчисления, теории многомерных пространств (линейной алгебры) и математического анализа. Его идеи, опередившие время, получили признание лишь спустя десятилетия после смерти.

¶Биография

¶Ранние годы и образование

Герман Грассман родился в семье пастора и учителя математики Юстуса Гюнтера Грассмана, преподававшего в гимназии Штеттина. Мать — Иоганна Фридерика Грассман. В семье было 11 детей, Герман был третьим ребёнком. Первоначальное образование получил дома, затем поступил в гимназию Штеттина, которую окончил в 1827 году.

С 1827 по 1831 год изучал теологию в Берлинском университете, посещая также лекции по математике, физике и философии. После окончания университета вернулся в Штеттин, где сдал экзамен на звание учителя гимназии. В 1834 году начал преподавать математику, физику, немецкий язык и религию в гимназии Штеттина, где проработал всю жизнь.

¶Научная деятельность

В 1840 году Грассман сдал дополнительный экзамен на право преподавания математики в высших классах, представив диссертацию «Теория приливов и отливов» (нем. «Theorie der Ebbe und Flut»), в которой впервые применил векторные методы к физическим задачам. В 1844 году опубликовал главный труд — «Учение о линейном протяжении» (нем. «Die lineale Ausdehnungslehre»), в котором изложил основы векторного исчисления и многомерной геометрии. Книга была написана сложным языком и содержала множество новых терминов, что привело к её неприятию современниками.

В 1847 году Грассман обратился в Министерство образования Пруссии с просьбой о предоставлении профессорской должности, но получил отказ. В 1852 году занял место профессора математики в гимназии Штеттина, но не смог получить университетскую кафедру. В 1861 году его избрали членом-корреспондентом Гёттингенской академии наук.

Параллельно с математикой Грассман занимался филологией: изучал санскрит, опубликовал перевод «Ригведы» (1876–1877) и «Словарь к Ригведе» (1873). Его лингвистические работы получили признание, и в 1876 году он стал членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

¶Личная жизнь и смерть

В 1849 году женился на Марии Розеншток, в браке родилось 11 детей, из которых выжили семеро. Умер Грассман 26 сентября 1877 года в Штеттине от сердечного приступа.

¶Математические достижения

¶Векторное исчисление

Грассман ввёл понятие внешнего произведения (или клинового произведения) векторов, которое позволяет описывать площади и объёмы в многомерных пространствах. Он определил вектор как направленный отрезок, ввёл операции сложения и умножения векторов, а также понятие скалярного произведения (хотя сам термин не использовал). Его алгебра, названная алгеброй Грассмана, стала основой для современной теории мультивекторов и дифференциальных форм.

¶Теория многомерных пространств

В «Учении о линейном протяжении» Грассман впервые систематически описал n-мерное векторное пространство (термин «линейное протяжение»). Он ввёл понятия линейной независимости, базиса и размерности, а также сформулировал правила операций с векторами, которые позже легли в основу линейной алгебры. Грассман также рассматривал аффинные пространства и метрические пространства, предвосхитив идеи Римана.

¶Вклад в анализ

Грассман разработал теорию итерационных функций и метод вариации постоянных для решения дифференциальных уравнений. В 1840 году он опубликовал работу «Теория приливов и отливов», где впервые применил векторный анализ к гидродинамике. В 1861 году издал «Учебник математики для высших учебных заведений», в котором изложил основы анализа в духе Коши.

¶Влияние на алгебру

Идеи Грассмана оказали прямое влияние на развитие тензорного исчисления (через работы Эли Картана) и квантовой механики (алгебра Грассмана используется для описания фермионов). В 1902 году Альфред Норт Уайтхед в своей книге «Универсальная алгебра» популяризировал алгебру Грассмана.

¶Филологические работы

¶Санскритология

Грассман самостоятельно изучил санскрит и в 1873 году опубликовал «Словарь к Ригведе» (нем. «Wörterbuch zum Rig-Veda»), который до сих пор считается одним из лучших в этой области. В 1876–1877 годах вышло его полное издание «Ригведы» с переводом на немецкий язык. В лингвистике известен закон Грассмана — фонетическое правило, описывающее диссимиляцию придыхательных согласных в древнегреческом и санскрите.

¶Другие работы

Грассман написал несколько работ по теории музыки (в частности, о математической основе гармонии), а также статьи по физике (оптика, акустика). Его «Физическая энциклопедия» (1832) осталась незавершённой.

¶Признание и наследие

¶Прижизненное признание

При жизни Грассман не получил широкого признания как математик. Его главный труд «Учение о линейном протяжении» был проигнорирован большинством современников. Лишь в 1860-х годах его идеи начали привлекать внимание: в 1867 году Феликс Клейн использовал алгебру Грассмана в своих работах по геометрии.

¶Посмертная слава

После смерти Грассмана его работы были переоткрыты и оценены. В 1890-х годах Уильям Роуэн Гамильтон и Джозайя Уиллард Гиббс независимо разработали векторное исчисление, которое во многом опиралось на идеи Грассмана. В 1900 году на Международном математическом конгрессе в Париже Давид Гильберт назвал Грассмана одним из основоположников современной алгебры.

¶Память

• В 1909 году, к 100-летию со дня рождения, в Штеттине (ныне Щецин, Польша) была установлена мемориальная доска.
• Имя Грассмана носит один из кратеров на Луне.
• В 2011 году в честь Грассмана назван астероид (12616) Германграссман.
• В математике используются термины: алгебра Грассмана, многообразие Грассмана, закон Грассмана (в лингвистике).

¶Критика и ограничения

Основной причиной неприятия работ Грассмана современниками была их чрезвычайная абстрактность и непривычная терминология. Он вводил новые слова (например, «линейное протяжение», «внешнее произведение»), которые не были поняты коллегами. Кроме того, в его изложении отсутствовали наглядные геометрические интерпретации, что затрудняло восприятие. Лишь в XX веке, с развитием общей теории относительности и квантовой механики, идеи Грассмана нашли практическое применение.

¶Интересные факты

• Грассман был самоучкой в математике: он не посещал лекций по математике в университете, а изучал её самостоятельно по книгам.
• Его брат Роберт Грассман также был математиком и издателем, помогал публиковать труды Германа.
• В 1840 году Грассман подал заявку на патент на изобретение «машины для вычисления приливов», но патент не был выдан.
• В 1850-х годах он разработал систему цветовой нотации для музыки, основанную на математических пропорциях.

¶Источники

• Grassmann, H. «Die lineale Ausdehnungslehre» (1844).
• Grassmann, H. «Wörterbuch zum Rig-Veda» (1873).
• Crowe, M. J. «A History of Vector Analysis» (1967).
• Fearnley-Sander, D. «Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra» (1979).
• Schubring, G. «Hermann Günther Grassmann (1809–1877): Visionary Mathematician, Scientist and Neohumanist Scholar» (1996).