Группа (математика)

Группа — это алгебраическая структура, состоящая из непустого множества элементов и определённой на нём бинарной операции (часто называемой умножением или сложением), которая удовлетворяет четырём аксиомам: замкнутости, ассоциативности, существованию нейтрального элемента и существованию обратного элемента для каждого элемента множества. Группы являются фундаментальным объектом изучения в общей алгебре и лежат в основе многих разделов математики, физики, химии и других наук, описывая симметрии и преобразования.

История

Понятие группы возникло из нескольких источников в XVIII—XIX веках. Одним из ранних примеров были подстановки корней алгебраических уравнений, которые изучали Жозеф Луи Лагранж, Паоло Руффини и Нильс Хенрик Абель в контексте разрешимости уравнений в радикалах. В 1832 году Эварист Галуа заложил основы теории групп, связав группы перестановок корней с разрешимостью многочленов (теория Галуа). Термин «группа» (фр. groupe) впервые ввёл Галуа, хотя в современном понимании он использовал его для обозначения замкнутых множеств подстановок.

В середине XIX века Артур Кэли и Огюстен Луи Коши развили теорию групп перестановок. Кэли в 1854 году дал первое абстрактное определение группы, включающее аксиомы, хотя оно не сразу получило признание. Во второй половине XIX века Софус Ли применил идеи групп к непрерывным преобразованиям, создав теорию групп Ли, а Феликс Клейн в 1872 году в Эрлангенской программе предложил рассматривать геометрию как изучение свойств, инвариантных относительно действий групп преобразований. В XX веке теория групп стала самостоятельной дисциплиной, с работами Эмми Нётер, Германа Вейля, Уильяма Бернсайда и других.

Определение и аксиомы

Группой называется пара \((G, \cdot)\), где \(G\) — непустое множество, а \(\cdot : G \times G \to G\) — бинарная операция, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Замкнутость: для любых \(a, b \in G\) результат операции \(a \cdot b\) также принадлежит \(G\).
2. Ассоциативность: для любых \(a, b, c \in G\) выполняется \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\).
3. Существование нейтрального элемента: существует элемент \(e \in G\) такой, что для любого \(a \in G\) выполняется \(e \cdot a = a \cdot e = a\). Этот элемент называется единицей (для мультипликативной записи) или нулём (для аддитивной).
4. Существование обратного элемента: для каждого \(a \in G\) существует элемент \(a^{-1} \in G\) такой, что \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\).

Если операция коммутативна, то есть \(a \cdot b = b \cdot a\) для всех \(a, b \in G\), группа называется абелевой (в честь Нильса Хенрика Абеля). В противном случае группа называется неабелевой.

Примеры

Числовые группы

• Целые числа по сложению: \((\mathbb{Z}, +)\) — абелева группа. Нейтральный элемент — 0, обратный для \(n\) — \(-n\).
• Ненулевые рациональные числа по умножению: \((\mathbb{Q}^*, \times)\) — абелева группа. Нейтральный элемент — 1, обратный для \(a\) — \(1/a\).
• Матрицы: множество обратимых квадратных матриц размера \(n \times n\) над полем \(\mathbb{R}\) с операцией умножения образует общую линейную группу \(GL(n, \mathbb{R})\) — неабелеву группу для \(n > 1\).

Группы симметрий

• Группа перестановок: множество всех биекций конечного множества из \(n\) элементов (симметрическая группа \(S_n\)) с операцией композиции. \(S_n\) неабелева при \(n \geq 3\).
• Группа диэдра: группа симметрий правильного многоугольника, включающая повороты и отражения. Обозначается \(D_n\) и неабелева при \(n \geq 3\).
• Группа Ли: непрерывные группы, такие как \(SO(3)\) — группа вращений трёхмерного пространства, используемая в физике для описания углового момента.

Циклические группы

Группа, порождённая одним элементом, называется циклической. Например, \((\mathbb{Z}_n, +)\) — группа вычетов по модулю \(n\) с операцией сложения, имеющая \(n\) элементов. Все циклические группы абелевы.

Основные свойства

Подгруппы

Подмножество \(H\) группы \(G\) называется подгруппой, если оно само является группой относительно той же операции. Необходимое и достаточное условие: \(H\) замкнуто относительно операции и взятия обратных элементов. Примеры: чётные числа в \((\mathbb{Z}, +)\); подгруппа матриц с определителем 1 в \(GL(n, \mathbb{R})\) — специальная линейная группа \(SL(n, \mathbb{R})\).

Смежные классы и теорема Лагранжа

Для подгруппы \(H\) группы \(G\) левый смежный класс элемента \(a\) — это множество \(aH = \{a \cdot h \mid h \in H\}\). Аналогично определяется правый смежный класс. Смежные классы разбивают группу на непересекающиеся подмножества. Теорема Лагранжа утверждает, что порядок (число элементов) конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.

Нормальные подгруппы и факторгруппы

Подгруппа \(N\) называется нормальной, если для любого \(a \in G\) выполняется \(aN = Na\). Для нормальной подгруппы можно определить факторгруппу \(G/N\) — множество смежных классов с операцией \((aN)(bN) = (ab)N\). Факторгруппа является группой. Пример: факторгруппа \(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}\) изоморфна \(\mathbb{Z}_n\).

Гомоморфизмы

Гомоморфизмом групп называется отображение \(\varphi: G \to H\), сохраняющее операцию: \(\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)\). Ядро гомоморфизма — множество элементов, переходящих в нейтральный элемент \(H\); оно является нормальной подгруппой \(G\). Образ гомоморфизма — подгруппа \(H\). Теорема о гомоморфизме утверждает, что \(G / \ker \varphi \cong \operatorname{Im} \varphi\).

Классификация

Конечные группы

Конечные группы классифицируются по порядку и структуре. Важным результатом является теорема о классификации конечных простых групп, завершённая в 1980-х годах, которая перечисляет все конечные простые группы (не имеющие нетривиальных нормальных подгрупп). К ним относятся циклические группы простого порядка, знакопеременные группы \(A_n\) (\(n \geq 5\)), группы лиева типа и 26 спорадических групп.

Группы Ли

Непрерывные группы, являющиеся одновременно гладкими многообразиями. Они классифицируются по типам: \(A_n, B_n, C_n, D_n\) (классические группы) и исключительные группы \(G_2, F_4, E_6, E_7, E_8\). Группы Ли широко используются в физике элементарных частиц (калибровочные теории).

Абелевы группы

Классификация конечных абелевых групп утверждает, что любая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме циклических групп. Для бесконечных абелевых групп существует более сложная теория, включающая делимые группы и группы без кручения.

Применение

В математике

• Теория Галуа: связывает группы перестановок корней многочлена с разрешимостью уравнения в радикалах.
• Алгебраическая топология: фундаментальная группа и группы гомологий классифицируют топологические пространства.
• Теория представлений: изучение групп через их действия на векторных пространствах, используется в квантовой механике и кристаллографии.

В физике

• Группы симметрий: группа Пуанкаре в специальной теории относительности, группа Лоренца, калибровочные группы \(SU(3) \times SU(2) \times U(1)\) в Стандартной модели физики элементарных частиц.
• Кристаллография: 230 пространственных групп описывают симметрии кристаллических решёток.

В химии

• Точечные группы: описывают симметрии молекул, используются для классификации молекулярных орбиталей и спектроскопических переходов.

В криптографии

• Группы эллиптических кривых: используются в криптосистемах с открытым ключом (например, ECDSA), обеспечивающих безопасность в интернете.

Интересные факты

• Группа \(S_4\) (перестановки 4 элементов) имеет 24 элемента, а группа \(S_5\) — 120. Группа \(A_5\) (чётные перестановки 5 элементов) является простой и имеет порядок 60; она изоморфна группе вращений икосаэдра.
• Самая большая спорадическая группа — Монстр (группа Фишера-Грисса), её порядок равен примерно \(8 \times 10^{53}\). Она была построена в 1973 году Робертом Гриссом и Берндом Фишером.
• Теорема Лагранжа обратна не всегда: например, в знакопеременной группе \(A_4\) порядка 12 нет подгруппы порядка 6.
• Группы Ли были открыты Софусом Ли в конце XIX века и до сих пор остаются активной областью исследований, особенно в связи с квантовыми группами и теорией струн.

Критика и ограничения

Теория групп является строго аксиоматической и не имеет внутренних противоречий в рамках стандартной математики (ZFC). Однако классификация конечных простых групп, хотя и считается завершённой, содержит некоторые пробелы, которые требуют проверки. Кроме того, алгоритмические проблемы, такие как проблема слов в группах (определение, равен ли элемент единице), неразрешимы для некоторых групп, что ограничивает вычислительные подходы.