Нильс Хенрик Абель

Нильс Хенрик Абель — норвежский математик, один из крупнейших учёных XIX века, внёсший фундаментальный вклад в теорию алгебраических уравнений, теорию эллиптических функций и математический анализ. Его работы заложили основы современной алгебры, а имя увековечено в ряде математических понятий, включая абелевы группы, абелевы интегралы и премию Абеля.

Биография

Ранние годы и образование

Нильс Хенрик Абель родился 5 августа 1802 года в местечке Финнёй (Норвегия) в семье пастора Сёрена Георга Абеля. После смерти отца в 1820 году семья оказалась в тяжёлом материальном положении. Благодаря таланту юноши, учителя и местные меценаты собрали средства, чтобы он мог продолжить обучение в Университете Христиании (ныне Осло). В 1821 году Абель поступил в университет, где изучал математику под руководством профессора Бернта Хольмбо.

Научная деятельность

Уже в студенческие годы Абель начал заниматься решением уравнений пятой степени. В 1824 году он опубликовал работу, в которой доказал, что общее алгебраическое уравнение степени выше четвёртой неразрешимо в радикалах. Это открытие, сделанное независимо от более поздних работ Эвариста Галуа, стало одним из ключевых результатов алгебры XIX века.

В 1825–1827 годах Абель совершил научную поездку по Европе, посетив Германию, Францию и Италию. В Берлине он познакомился с Августом Леопольдом Крелле, который основал «Журнал чистой и прикладной математики» (Journal für die reine und angewandte Mathematik, ныне известный как «Журнал Крелле»). Абель стал одним из первых авторов журнала, опубликовав в нём серию статей по теории эллиптических функций, теории рядов и интегральному исчислению.

В 1826 году Абель представил Парижской академии наук мемуар «О некоторых общих свойствах и общих методах, которыми обладают трансцендентные функции» (Mémoire sur une propriété générale d’une classe très étendue de fonctions transcendantes). Однако работа была утеряна или не оценена рецензентами (Огюстен Луи Коши и Симеон Дени Пуассон) и не была опубликована при жизни автора. Лишь в 1841 году, после смерти Абеля, мемуар был найден и опубликован.

Последние годы и смерть

Вернувшись в Норвегию в 1827 году, Абель безуспешно пытался получить профессорскую должность. Он испытывал финансовые трудности и проблемы со здоровьем. В 1828 году его избрали членом Королевской шведской академии наук, но это не улучшило материального положения. Нильс Хенрик Абель скончался от туберкулёза 6 апреля 1829 года в возрасте 26 лет, всего за два дня до того, как из Берлина пришло известие о назначении его профессором Берлинского университета.

Основные научные достижения

Неразрешимость уравнений пятой степени в радикалах

Главным результатом Абеля в алгебре стало доказательство теоремы, известной как теорема Абеля — Руффини: общее алгебраическое уравнение степени \(n \ge 5\) не может быть решено в радикалах (то есть его корни не могут быть выражены через коэффициенты с помощью конечного числа арифметических операций и извлечения корней). Это доказательство опровергло многовековую попытку математиков найти общую формулу для корней уравнений высших степеней, аналогичную формуле для квадратного, кубического и биквадратного уравнений. Работа Абеля стала важным шагом к созданию теории Галуа, которая дала полное описание разрешимости уравнений в радикалах.

Теория эллиптических функций

Абель независимо от Карла Густава Якоба Якоби разработал теорию эллиптических функций — двоякопериодических мероморфных функций комплексной переменной. Он ввёл понятие абелевых интегралов и абелевых функций, обобщающих эллиптические интегралы. Абель показал, что эллиптические интегралы обратны эллиптическим функциям, и установил основные свойства этих функций, включая теорему сложения. Эти работы легли в основу современной теории алгебраических кривых и абелевых многообразий.

Вклад в математический анализ

Абель внёс существенный вклад в теорию рядов. Он доказал теорему о непрерывности суммы степенного ряда (теорема Абеля) и разработал критерий сходимости рядов (признак Абеля). В теории интегрального исчисления он ввёл понятие абелева интеграла и исследовал сходимость несобственных интегралов. Также Абель занимался теорией функциональных уравнений и дифференциальных уравнений.

Понятия, названные в честь Абеля

• Абелева группа — коммутативная группа, то есть группа, в которой операция коммутативна. Это одно из фундаментальных понятий современной алгебры.
• Абелев интеграл — интеграл от алгебраической функции, обобщение эллиптического интеграла.
• Абелева функция — мероморфная функция нескольких комплексных переменных, периодическая по каждому аргументу.
• Теорема Абеля — несколько теорем в разных разделах математики, наиболее известны: теорема о непрерывности суммы степенного ряда и теорема о неразрешимости уравнений пятой степени.
• Признак Абеля — признак сходимости числовых и функциональных рядов.
• Премия Абеля — международная математическая премия, учреждённая в 2002 году правительством Норвегии в честь 200-летия со дня рождения учёного. Премия присуждается ежегодно за выдающиеся достижения в математике, её размер сопоставим с Нобелевской премией.

Признание и наследие

Несмотря на короткую жизнь, Абель оставил глубокий след в математике. Его работы были признаны уже после смерти: в 1830 году Парижская академия наук присудила ему (посмертно) Большую премию по математике совместно с Якоби. В 1841 году был опубликован его мемуар, утерянный в 1826 году.

В 1902 году, к столетию со дня рождения, в Норвегии был установлен памятник Абелю. В 2002 году, к 200-летию, была учреждена Премия Абеля. В честь учёного назван кратер на Луне и астероид (1767) Abel.

Критика и ограничения

Некоторые современники критиковали Абеля за чрезмерную сложность и неполноту его доказательств. В частности, его доказательство неразрешимости уравнений пятой степени было признано строгим лишь после доработок, выполненных позднее другими математиками. Также его работы по эллиптическим функциям были опубликованы с опозданием, что привело к спорам о приоритете с Якоби. Однако в целом научное сообщество признаёт Абеля одним из величайших математиков XIX века.

Источники

• Стиллвелл, Дж. «Математика и её история». — М.: Институт компьютерных исследований, 2004.
• Клейн, Ф. «Лекции о развитии математики в XIX столетии». — М.: Наука, 1989.
• Оре, О. «Нильс Хенрик Абель. Математик и человек». — М.: Мир, 1964.
• Энциклопедия Britannica, статья «Niels Henrik Abel».