Игра с нулевой суммой¶

Игра с нулевой суммой — это понятие теории игр, обозначающее ситуацию соревнования, в которой сумма выигрышей всех участников равна нулю: каждый выигрыш одного игрока неизбежно является проигрышем другого. Термин восходит к математическому понятию «нулевая сумма» и описывает класс игр с полностью противоположными интересами участников. Если в игре с ненулевой суммой возможен совместный выигрых (или совместный проигрыш), то в игре с нулевой суммой благосостояние всех игроков в целом остаётся неизменным — меняется лишь распределение «пирога» между ними.

¶Математическая суть

Рассмотрим игру с $n$ игроками, каждый из которых делает выбор стратегии. Выигрыш игрока $i$ обозначим $u_i$. Игра считается игрой с нулевой суммой, если для любого исхода:

$$u_1 + u_2 + \dots + u_n = 0$$

Частный и наиболее изученный случай — двухличностная игра с нулевой суммой, где $u_1 = -u_2$. Такие игры полностью описываются матрицей выигрышей одного игрока: второй игрок стремится к минимизации того же значения. Классический пример — «камень-ножницы-бумага», где выигрыш одного равен проигрышу другого.

Важное следствие: в игре с нулевой суммой невозможно достичь взаимовыгодного сотрудничества в смысле увеличения общего выигрыша. Любая кооперация сводится к перераспределению, а не к созданию новой стоимости. Это отличает такие игры от игр с ненулевой суммой, где возможны «выигрыш-выигрыш» и «проигрыш-проигрыш» исходы.

¶Классификация игр по сумме выигрышей

Игры с нулевой суммой являются частным случаем игр с ненулевой суммой, но изучаются отдельно, поскольку обладают особыми свойствами: например, в них всегда существует решение в смешанных стратегиях (теорема фон Неймана о минимаксе, 1928).

¶Примеры

К числу классических примеров игр с нулевой суммой относятся:

• Азартные игры — рулетка, покер, блэкджек: выигрыш одного игрока формируется из проигрышей остальных (с учётом доли заведения).
• Спортивные соревнования — в матче один победитель и один проигравший; ничья в целом сохраняет нулевую сумму.
• Судебные тяжбы — если истец получает компенсацию, ответчик несёт равные затраты.
• Переговоры о разделе имущества — каждый дополнительный рубль, достающийся одному участнику, уменьшает долю другого.
• Минимаксные задачи — в военном планировании, шахматах и некоторых экономических моделях.

¶Применение в экономике и социальных науках

Понятие широко используется в экономической теории для анализа конкурентных рынков, аукционов и торговых переговоров. На финансовых рынках сделки между покупателем и продавцом производного инструмента (например, форвардного контракта) являются примером игры с нулевой суммой: прибыль одной стороны равна убытку другой.

В социальной психологии и переговорной теории различают «нулевую сумму» и «расширение пирога». Модель «win-lose» (выигрыш-проигрыш) считается нулевой суммной и, как правило, ведёт к устойчивым конфликтам, тогда как поиск решений типа «win-win» предполагает переход к игре с ненулевой суммой.

¶Критика и ограничения

Практически реальные ситуации редко бывают строго нулевыми суммами. Даже в азартных играх присутствует комиссия заведения, в судебных процессах — издержки сторон, в спорте — репутационные и финансовые эффекты, не сводимые к счёту матча. Поэтому модель нулевой суммы часто служит упрощением, полезным для анализа, но неточным для описания сложных взаимодействий. Критики подхода отмечают, что чрезмерное использование этой рамки в переговорах и политике порождает излишне конфронтационное мышление.

¶Связанные понятия

• Минимакс — стратегия, минимизирующая максимальный возможный проигрыш; естественна для игр с нулевой суммой.
• Равновесие Нэша — в двухличностных играх с нулевой суммой совпадает с решением минимакса.
• Теорема фон Неймана — гарантирует существование равновесия в смешанных стратегиях для таких игр.

Источники:

• Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение
• Масколл Дж. Введение в теорию игр
• Капланов Г. Н. Теория игр для инженеров
• Вентцель Е. С. Элементы теории игр