Интегральный признак Коши¶

Интегральный признак Коши (также признак Коши — Маклорена) — один из признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, устанавливающий связь между сходимостью ряда и сходимостью несобственного интеграла от соответствующей функции. Признак позволяет свести исследование ряда к исследованию интеграла, что во многих случаях упрощает анализ, поскольку техника интегрирования разработана лучше, чем прямые методы суммирования рядов.

¶Формулировка

Пусть дан ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad a_n > 0,$$

и существует такая невозрастающая непрерывная функция $f(x)$, определённая при $x \ge 1$, что $f(n) = a_n$ для всех натуральных $n$. Тогда ряд $\sum a_n$ и несобственный интеграл

$$\int_1^{\infty} f(x)\, dx$$

сходятся или расходятся одновременно.

Иными словами: если интеграл сходится, то сходится и ряд; если интеграл расходится, то расходится и ряд. При этом сумма ряда и значение интеграла, вообще говоря, не совпадают, однако связаны неравенствами, позволяющими оценивать остаток ряда.

¶Идея доказательства

Доказательство опирается на геометрическую интерпретацию и признаки сравнения. Поскольку функция $f(x)$ невозрастающая, для любого $k$ выполняется двойное неравенство

$$f(k+1) \le \int_{k}^{k+1} f(x)\, dx \le f(k).$$

Суммируя эти неравенства по $k$ от 1 до $n$, получают

$$\sum_{k=1}^{n} f(k+1) \le \int_1^{n+1} f(x)\, dx \le \sum_{k=1}^{n} f(k).$$

Левая часть представляет собой частичную сумму ряда без первого члена, правая — частичную сумму с первым членом. Из этих оценок следует, что частичные суммы ряда ограничены тогда и только тогда, когда ограничен интеграл с возрастающим верхним пределом. Ограниченность частичных сумм положительного ряда равносильна его сходимости, что и завершает доказательство.

¶Условия применимости

Для использования признака необходимо, чтобы функция $f(x)$ удовлетворяла трём условиям:

• была определена и непрерывна при $x \ge 1$;
• была неотрицательна;
• была невозрастающей (монотонно убывающей).

Требование невозрастания существенно: если функция колеблется, соответствие между рядом и интегралом может нарушаться. На практике в качестве $f(x)$ обычно берут выражение, получающееся заменой дискретного индекса $n$ на непрерывную переменную $x$.

¶Примеры применения

Гармонический ряд. Для ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ функция $f(x) = 1/x$. Интеграл

$$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x} = \ln x \Big|_1^{\infty} = \infty$$

расходится, следовательно, гармонический ряд расходится.

Обобщённый гармонический ряд. Для ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ функция $f(x) = x^{-p}$. Интеграл сходится при $p > 1$ и расходится при $p \le 1$. Отсюда получают важный результат: обобщённый гармонический ряд (ряд Дирихле) сходится тогда и только тогда, когда $p > 1$.

Ряд с логарифмом. Для ряда $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ функция $f(x) = \frac{1}{x \ln x}$. Первообразная равна $\ln \ln x$, которая неограниченно возрастает, поэтому интеграл расходится и ряд расходится. Замена показателя степени приводит к ряду $\sum \frac{1}{n \ln^p n}$, сходящемуся при $p > 1$.

¶Связь с другими признаками

Интегральный признак тесно связан с признаками сравнения: по сути, он является их непрерывным аналогом. Для рядов Дирихле он даёт исчерпывающий ответ о сходимости, тогда как радикальный и интегральный признаки Коши, признак Даламбера в ряде случаев оказываются менее чувствительными. Например, для ряда $\sum \frac{1}{n \ln n}$ признак Даламбера и радикальный признак Коши дают пределы, равные единице, то есть не позволяют сделать вывод, тогда как интегральный признак сразу устанавливает расходимость.

¶Оценка остатка ряда

Признак позволяет не только устанавливать факт сходимости, но и оценивать остаток $R_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k$. Из неравенств сравнения следует

$$\int_{n+1}^{\infty} f(x)\, dx \le R_n \le \int_{n}^{\infty} f(x)\, dx.$$

Эти оценки применяются в вычислительной математике для контроля точности приближённого суммирования рядов.

¶История

Соответствие между рядами и интегралами установил в 1742 году шотландский математик Колин Маклорен, поэтому в англоязычной литературе признак часто называют признаком Маклорена — Коши или интегральным признаком Маклорена. Окончательную современную формулировку и строгое доказательство в рамках создаваемой теории пределов дал Огюстен Луи Коши в первой половине XIX века в курсе лекций по анализу. В русскоязычной традиции закрепилось название «интегральный признак Коши».

¶Значение

Интегральный признак занимает центральное место в теории числовых рядов и в курсах математического анализа. Он служит эталонным инструментом для исследования рядов, члены которых задаются формулами, допускающими естественное продолжение на непрерывную область. На его основе строятся оценки сумм, выводятся асимптотические формулы и исследуются вопросы сходимости в теории вероятностей, численных методах и физике.

Источники: учебники по математическому анализу, курсы теории рядов, классические работы по дифференциальному и интегральному исчислению.