Карл Гаусс

Карл Фридрих Гаусс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген) — немецкий математик, механик, астроном, физик и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, оказавшим фундаментальное влияние на развитие алгебры, теории чисел, математического анализа, дифференциальной геометрии, астрономии, оптики и теории электромагнетизма. Современники называли его «принцем математиков» (лат. Princeps mathematicorum).

Биография

Ранние годы и образование

Гаусс родился в семье небогатого садовника и водопроводчика Гебхарда Дитриха Гаусса в Брауншвейге (герцогство Брауншвейг-Вольфенбюттель). С раннего детства проявил исключительные способности к счёту. Согласно широко известной легенде, в трёхлетнем возрасте он исправил ошибку отца в подсчёте заработной платы рабочих. В начальной школе, когда учитель задал классу задачу сложить числа от 1 до 100, юный Гаусс мгновенно нашёл ответ (5050), заметив, что попарные суммы крайних членов ряда (1+100, 2+99 и т.д.) равны 101, а таких пар 50.

Герцог Брауншвейгский Карл Вильгельм Фердинанд обратил внимание на талант мальчика и выделил стипендию для его обучения. Гаусс учился в гимназии Collegium Carolinum в Брауншвейге (1792–1795), а затем в Гёттингенском университете (1795–1798). В университете он самостоятельно изучал труды Ньютона, Эйлера и Лагранжа, а также вёл дневник научных открытий, который стал впоследствии важным историческим источником.

Гёттингенский период

В 1799 году Гаусс получил степень доктора философии заочно в Хельмштедтском университете, защитив диссертацию, посвящённую основной теореме алгебры. После смерти герцога Брауншвейгского в 1806 году, финансирование прекратилось, и Гауссу пришлось искать постоянную работу. В 1807 году он был назначен профессором математики и директором астрономической обсерватории Гёттингенского университета, где и проработал до конца жизни.

В 1831 году Гаусс познакомился с молодым физиком Вильгельмом Вебером. Их совместная работа в области электромагнетизма и земного магнетизма привела к созданию первого в мире электромагнитного телеграфа (1833) и разработке абсолютной системы магнитных единиц.

Научные достижения

Теория чисел

Главный труд Гаусса в этой области — «Арифметические исследования» (лат. Disquisitiones Arithmeticae, 1801). Эта книга заложила основы современной теории чисел. В ней Гаусс:

• Ввёл понятие сравнения по модулю и разработал теорию квадратичных вычетов.
• Доказал квадратичный закон взаимности, который сам называл «золотой теоремой».
• Исследовал циклические группы, первообразные корни и индексы.
• Решил задачу построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки (1796), что стало первым новым результатом в этой области со времён античности.

Алгебра

В своей докторской диссертации (1799) Гаусс дал первое строгое доказательство основной теоремы алгебры, утверждающей, что любой многочлен с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Всего он предложил четыре различных доказательства этой теоремы. Также он внёс вклад в теорию матриц и систем линейных уравнений, разработав метод исключения переменных (метод Гаусса).

Математический анализ и дифференциальная геометрия

Гаусс внёс фундаментальный вклад в дифференциальную геометрию, опубликовав в 1827 году работу «Общие исследования о кривых поверхностях» (лат. Disquisitiones generales circa superficies curvas). В ней он ввёл понятие гауссовой кривизны, доказал теорему Theorema Egregium («замечательная теорема»), согласно которой гауссова кривизна поверхности не изменяется при изгибании (т.е. является внутренним инвариантом). Эти идеи легли в основу римановой геометрии и общей теории относительности.

В области математического анализа Гаусс разработал метод наименьших квадратов и теорию ошибок, а также внёс вклад в теорию гипергеометрических рядов и эллиптических функций.

Астрономия и геодезия

В 1801 году итальянский астроном Джузеппе Пиацци открыл карликовую планету Цереру, но вскоре потерял её из виду. Гаусс, используя свой метод наименьших квадратов и теорию орбит, предсказал положение Цереры с высокой точностью, что позволило переоткрыть её в конце того же года. Этот успех принёс Гауссу мировую известность. Он разработал теорию движения небесных тел, изложенную в труде «Теория движения небесных тел» (Theoria motus corporum coelestium, 1809).

С 1818 по 1832 год Гаусс руководил геодезической съёмкой Ганноверского королевства. Для этих работ он разработал метод триангуляции, создал теорию поверхностей и ввёл понятие геодезической линии. В ходе съёмки он изобрёл гелиотроп — прибор для точного измерения углов на больших расстояниях.

Физика и электромагнетизм

Совместно с Вильгельмом Вебером Гаусс основал Магнитную обсерваторию в Гёттингене (1833). Они:

• Разработали абсолютную систему единиц для магнитных измерений (гаусс — единица магнитной индукции в системе СГС).
• Создали первый в мире электромагнитный телеграф, соединивший обсерваторию и физический институт (расстояние около 1 км).
• Исследовали земной магнетизм, составили карты магнитного поля Земли.
• Разработали теорию потенциальных функций, которая стала основой для математической физики.

Личные качества и стиль работы

Гаусс был известен своей необыкновенной работоспособностью и требовательностью к себе. Он публиковал только полностью завершённые и безупречные с его точки зрения работы, поэтому многие его открытия (например, неевклидова геометрия, эллиптические функции) были опубликованы посмертно или независимо переоткрыты другими учёными (Янош Бойяи, Николай Лобачевский, Нильс Абель). Гаусс вёл строгий учёт своих научных идей в дневнике, который был обнаружен только после его смерти и содержал более 140 кратких записей об открытиях, многие из которых на десятилетия опередили своё время.

Память

Именем Гаусса названы:

• Кратер на Луне.
• Астероид (1001) Гауссия.
• Единица магнитной индукции в системе СГС (гаусс).
• Математические понятия: гауссова кривизна, гауссов интеграл, гауссово распределение (нормальное распределение), метод Гаусса, гауссова система единиц.
• Портрет Гаусса был изображён на немецкой банкноте в 10 марок (1993–2002).
• В Гёттингене и Брауншвейге установлены памятники.

Интересные факты

• Гаусс свободно владел латынью, греческим, французским и английским языками.
• В возрасте 62 лет он начал изучать русский язык, чтобы читать труды Лобачевского и Остроградского в оригинале.
• Гаусс категорически отказывался публиковать работы по неевклидовой геометрии, опасаясь «криков беотийцев» (подразумевая невежественную критику).
• Он был глубоко религиозным человеком, но не принадлежал ни к одной конфессии, считая, что истинная вера — в научном познании мира.

Источники

• Белл Э. Т. Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979.
• Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука, 1989.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. — М.: Наука, 1978.
• Рыбников К. А. История математики. — М.: Изд-во МГУ, 1994.
• Gauss C. F. Werke. — Göttingen, 1863–1929 (12 томов).