Ковариантный тензор

Ковариантный тензор — это тензор, компоненты которого при замене базиса векторного пространства преобразуются по тому же закону, что и компоненты ковектора (линейной формы). Ковариантные тензоры являются фундаментальным объектом тензорного анализа и дифференциальной геометрии, широко применяются в теории относительности, механике сплошных сред, электродинамике и других разделах физики и математики.

Определение и основные понятия

Тензор — это геометрический объект, линейно отображающий элементы векторного пространства и сопряжённого ему пространства в числа. Ковариантность (от лат. covariare — совместно изменяться) означает, что компоненты тензора изменяются «так же», как и базисные векторы. Формально: если задан базис \(\{e_i\}\) в векторном пространстве \(V\) размерности \(n\), то ковариантный тензор ранга \((0, r)\) (или просто \(r\)-ковариантный тензор) — это полилинейная функция

\[ T: V^r \to \mathbb{R}, \]

линейная по каждому из \(r\) аргументов. В координатах он записывается как набор компонент \(T_{i_1 i_2 \dots i_r}\), которые при переходе к новому базису \(\{e'_j\}\) с матрицей перехода \(A\) (где \(e'_j = A^i_j e_i\)) преобразуются по правилу:

\[ T'_{j_1 j_2 \dots j_r} = T_{i_1 i_2 \dots i_r} A^{i_1}_{j_1} A^{i_2}_{j_2} \dots A^{i_r}_{j_r}. \]

Здесь \(A^{i_k}_{j_k}\) — элементы матрицы перехода от старого базиса к новому. Это правило отличает ковариантные тензоры от контравариантных, у которых компоненты преобразуются с помощью обратной матрицы.

История

Понятие тензора восходит к работам Карла Фридриха Гаусса (1820-е годы) и Бернхарда Римана (1850-е годы) по дифференциальной геометрии, где изучались квадратичные формы (метрические тензоры). Термин «тензор» ввёл Уильям Роуэн Гамильтон в 1846 году в контексте теории кватернионов, но современное понимание ковариантных и контравариантных тензоров сформировалось в работах Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивиты (конец XIX — начало XX века). Они разработали тензорное исчисление, которое Альберт Эйнштейн применил в общей теории относительности (1915 год). В 1920-е годы Эли Картан и Герман Вейль обобщили тензорный формализм на произвольные многообразия.

Классификация тензоров по валентности

Тензоры классифицируются по числу ковариантных и контравариантных индексов. Валентность \((p, q)\) означает \(p\) контравариантных и \(q\) ковариантных индексов. Ковариантные тензоры имеют валентность \((0, q)\):

• Тензор ранга \((0,0)\) — скаляр (число), не меняется при замене базиса.
• Тензор ранга \((0,1)\) — ковектор (линейная форма). Пример: градиент скалярной функции \(df = \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i\).
• Тензор ранга \((0,2)\) — билинейная форма. Пример: метрический тензор \(g_{ij}\), задающий скалярное произведение.
• Тензор ранга \((0,3)\) и выше — полилинейные формы, например тензор кривизны Римана \(R_{ijkl}\) (ковариантный по всем четырём индексам).

Свойства и операции

Симметрия и антисимметрия

Ковариантный тензор может обладать симметрией или антисимметрией по некоторым парам индексов. Например, метрический тензор симметричен: \(g_{ij} = g_{ji}\). Тензор кривизны антисимметричен по первой и второй парам индексов: \(R_{ijkl} = -R_{jikl}\). Антисимметричные ковариантные тензоры называются дифференциальными формами и играют ключевую роль в теории интегрирования на многообразиях.

Свёртка

Операция свёртки (контракции) тензора по паре индексов (одному ковариантному и одному контравариантному) понижает ранг на 2. Для чисто ковариантного тензора свёртка возможна только после поднятия индекса с помощью метрического тензора. Например, свёртка тензора Римана даёт тензор Риччи: \(R_{ij} = g^{kl} R_{kilj}\).

Тензорное произведение

Тензорное произведение двух ковариантных тензоров рангов \((0, p)\) и \((0, q)\) даёт тензор ранга \((0, p+q)\). Компоненты вычисляются как произведение компонент сомножителей: \((T \otimes S)_{i_1 \dots i_p j_1 \dots j_q} = T_{i_1 \dots i_p} S_{j_1 \dots j_q}\).

Примеры ковариантных тензоров

Метрический тензор

В римановой геометрии метрический тензор \(g_{ij}\) задаёт расстояние между точками. В евклидовом пространстве в декартовых координатах он равен единичной матрице. В общей теории относительности метрика описывает гравитационное поле.

Тензор кривизны Римана

Тензор Римана \(R_{ijkl}\) характеризует отклонение геометрии многообразия от евклидовой. Он ковариантен по всем четырём индексам и удовлетворяет тождествам Бьянки.

Тензор электромагнитного поля

В электродинамике тензор электромагнитного поля \(F_{\mu\nu}\) (где \(\mu, \nu = 0,1,2,3\)) является антисимметричным ковариантным тензором второго ранга. Его компоненты выражаются через напряжённости электрического и магнитного полей: \(F_{0i} = -E_i\), \(F_{ij} = \epsilon_{ijk} B_k\).

Применение в физике

В общей теории относительности все физические законы записываются в ковариантной форме, то есть с использованием тензоров, преобразующихся по определённым правилам. Это обеспечивает независимость уравнений от выбора системы координат. Например, уравнения Эйнштейна:

\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, \]

где \(R_{\mu\nu}\) — тензор Риччи (свёртка тензора Римана), \(g_{\mu\nu}\) — метрический тензор, \(T_{\mu\nu}\) — тензор энергии-импульса (ковариантный тензор второго ранга).

В механике сплошных сред ковариантные тензоры используются для описания деформаций и напряжений. Например, тензор деформации Коши-Грина \(C_{ij}\) является ковариантным.

Связь с контравариантными тензорами

Ковариантные и контравариантные тензоры связаны через метрический тензор. Операция поднятия индекса (умножение на обратный метрический тензор \(g^{ij}\)) превращает ковариантный тензор в контравариантный, а опускание индекса (умножение на \(g_{ij}\)) — наоборот. Например, из компонент ковектора \(A_i\) получается контравариантный вектор \(A^i = g^{ij} A_j\).

Ковариантная производная

Ковариантная производная — это обобщение обычной производной на многообразия, учитывающее изменение базиса. Для ковариантного тензора ранга \((0, r)\) ковариантная производная добавляет один ковариантный индекс и вычисляется с использованием символов Кристоффеля \(\Gamma^k_{ij}\):

\[ \nabla_k T_{i_1 i_2 \dots i_r} = \partial_k T_{i_1 i_2 \dots i_r} - \sum_{a=1}^r \Gamma^{l}_{k i_a} T_{i_1 \dots l \dots i_r}. \]

Ковариантная производная тензора сама является тензором.

Интересные факты

• В дифференциальной геометрии ковариантные тензоры часто называют «тензорами типа (0, q)», а контравариантные — «типа (p, 0)».
• Термин «ковариантный» ввёл Эйнштейн в 1916 году для описания величин, преобразующихся как градиент.
• Все физические законы, записанные в ковариантной форме, автоматически удовлетворяют принципу общей ковариантности — одному из основополагающих принципов общей теории относительности.
• В алгебраической топологии ковариантные тензоры (дифференциальные формы) используются для определения когомологий де Рама.

Источники

• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. «Курс дифференциальной геометрии и топологии». — М.: Факториал Пресс, 2000.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. «Современная геометрия: методы и приложения». — М.: Наука, 1986.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Теория поля» (том 2). — М.: Физматлит, 2003.
• Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. «Гравитация» (том 1). — М.: Мир, 1977.
• Кострикин А. И. «Введение в алгебру» (часть 2). — М.: МЦНМО, 2009.