Квартиль — статистический разрез данных¶

Квартиль — значение признака, при котором наблюдаемый ряд делится на четыре примерно равные по числу наблюдений части. Квартили являются частным случаем квантилей и используются в описательной статистике для характеристики распределения, размаха и положения данных относительно центра.

¶Определение и обозначения

Ряд значений признака, упорядоченный по возрастанию, разбивается на четыре части с помощью трёх точек — квартилей. Обозначают их как Q1, Q2 и Q3:

• Q1 (нижний квартиль) — значение, ниже которого находится примерно 25 % наблюдений;
• Q2 (медиана) — значение, ниже которого находится примерно 50 % наблюдений;
• Q3 (верхний квартиль) — значение, ниже которого находится примерно 75 % наблюдений.

Между квартилями лежат 50 % наблюдений ряда. Разность Q3 − Q1 называется межквартильным размахом (interquartile range, IQR) — мерой статистического разброса, устойчивой к выбросам.

¶Методы вычисления

Существует несколько способов определения квартилей, различающихся правилом интерполяции. Основные формулы применимы к упорядоченному ряду из n значений:

Для медианы (p = 0,5) при чётном n все разумные методы дают среднее двух центральных значений, при нечётном — центральное значение ряда. Для нижнего и верхнего квартилей результаты методов могут различаться, особенно на малых выборках. В практических расчётах (статпакеты, табличные процессоры) используется линейная интерполяция между ближайшими наблюдениями.

Пример. Для ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 при методе Тьюки: Q1 стоит на позиции 0,25·11 = 2,75, то есть Q1 = 2 + 0,75·(3 − 2) = 2,75; Q3 стоит на позиции 0,75·11 = 8,25, откуда Q3 = 8 + 0,25·(9 − 8) = 8,25; медиана равна 5,5.

¶Связь с другими статистическими показателями

Квартили входят в систему так называемого пятизначного (пятичислового) сводного описания наряду с минимумом, максимумом и медианой. Этот свод визуализируется с помощью диаграммы «ящик с усами» (boxplot), предложенной Джоном Тьюки в 1977 году: прямоугольник охватывает интервал от Q1 до Q3, линия внутри — медиана, «усы» — данные в пределах 1,5·IQR от границ ящика, а значения за пределами усов отмечаются как потенциальные выбросы.

Квартильный коэффициент асимметрии (коэффициент Боули) вычисляется по формуле (Q3 + Q1 − 2·Q2) / (Q3 − Q1) и характеризует симметрию распределения: при симметричном распределении он близок к нулю.

¶Применение

Квартили применяются в описательной статистике, экономике, социологии, медицине и аналитике данных:

• Оценка неравенства доходов. Отношение Q3/Q1 (квартильный коэффициент) и доля доходов, приходящихся на верхний квартиль, используются как альтернатива коэффициенту Джини.
• Нормирование тестов и оценок. Перцентильная шкала результатов экзаменов, медицинских измерений (рост, вес детей) строится на базе квартильных границ.
• Контроль качества и промышленная статистика. Межквартильный размах применяется для описания вариации характеристик продукции.
• Проверка данных на выбросы. Правило 1,5·IQR — стандартный критерий отбрасывания аномальных значений перед дальнейшим анализом.
• Машинное обучение. Квартили используются при нормировке признаков (квантование), построении гистограмм и оценке распределений.

¶Преимущества и ограничения

Квартили, как и медиана, являются робастными характеристиками: они слабо зависят от крайних значений, поэтому применимы к смещённым и «тяжёлым» распределениям, где среднее и стандартное отклонение дают искажённую картину. Вместе с тем квартили не учитывают форму распределения между точками разбиения, поэтому для полной характеристики данных их обычно дополняют средним, стандартным отклонением и графиками.

¶Историческая справка

Идея разбиения ранжированного ряда на равные части восходит к работам по описательной статистике XIX века. Термин «квартиль» закрепился в статистике в первой половине XX века. Наибольшее распространение метод получил после публикации книги Дж. Тьюки «Exploratory Data Analysis» (1977), где были систематизированы «ящик с усами», межквартильный размах и связанные с ними приёмы анализа данных.