Неопределённый интеграл¶
Неопределённый интеграл — это семейство всех первообразных функции, то есть множество всех функций, производная которых равна заданной функции. Если для функции $f(x)$ найдена функция $F(x)$ такая, что $F'(x) = f(x)$, то записывают $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (постоянная интегрирования). В отличие от определённого интеграла, неопределённый интеграл не является числом: он обозначает целое семейство функций, отличающихся друг от друга на постоянную.
¶Связь с определённым интегралом
Основная теорема анализа устанавливает связь между неопределённым и определённым интегралами. Если $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, а $F$ — её первообразная, то
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$$
Таким образом, вычисление определённого интеграла сводится к нахождению неопределённого интеграла и подстановке границ. Обратное неверно: знание определённых интегралов не даёт формулы для неопределённого интеграла.
¶Основные свойства
Неопределённый интеграл обладает свойствами линейности:
$$\int \bigl(af(x) + bg(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,$$
где $a$, $b$ — произвольные постоянные. Кроме того, производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:
$$\frac{d}{dx}\left(\int f(x)\,dx\right) = f(x),$$
а интеграл от производной функции возвращает эту функцию с добавлением постоянной:
$$\int F'(x)\,dx = F(x) + C.$$
Эти свойства делают неопределённый интеграл обратной операцией к дифференцированию.
¶Таблица основных интегралов
Простейшие неопределённые интегралы вычисляются по таблице:
| Подынтегральная функция | Неопределённый интеграл |
|---|---|
| $x^n$ ($n \neq -1$) | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln\lvert x\rvert + C$ |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |
| $\frac{1}{\cos^2 x}$ | $\operatorname{tg} x + C$ |
| $\frac{1}{\sin^2 x}$ | $-\operatorname{ctg} x + C$ |
| $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ |
| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\operatorname{arctg} x + C$ |
¶Методы вычисления
¶Метод подстановки (замена переменной)
Метод подстановки основан на правиле дифференцирования сложной функции. Если удаётся представить подынтегральную функцию в виде $f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)$, то замена $u = \varphi(x)$ приводит к интегралу $\int f(u)\,du$. Например:
$$\int 2x\,e^{x^2}\,dx = \int e^u\,du = e^{x^2} + C.$$
¶Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям:
$$\int u\,dv = uv - \int v\,du,$$
вытекает из правила дифференцирования произведения. Метод применяется для произведений функций, например, для $\int x\,e^x\,dx$, $\int x\,\ln x\,dx$, $\int \arcsin x\,dx$. Выбор $u$ и $dv$ часто определяется правилом ЛИАТЕ (логарифм, обратные тригонометрические функции, алгебраические функции, тригонометрические, экспонента) — по убыванию приоритета для $u$.
¶Разложение на простейшие дроби
Для рациональных функций применяется метод разложения дроби на простейшие слагаемые. Например:
$$\int \frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C.$$
¶Тригонометрические подстановки
Для интегралов от выражений вида $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, $\sqrt{x^2 - a^2}$ используются подстановки $x = a\sin t$, $x = a\,\operatorname{tg} t$, $x = a\,\operatorname{ch} t$ соответственно.
¶Замечания о существовании
Не каждая функция имеет первообразную, выражаемую элементарными функциями. Классический пример — интеграл Гаусса $\int e^{-x^2}\,dx$, который не выражается через элементарные функции; его значение связано с функцией ошибок. Существуют также функции, не имеющие первообразной вовсе (например, функция, равная 1 на рациональных и 0 на иррациональных точках, по теореме Лебега не имеет первообразной, так как она не является производной нигде).
¶История
Понятие неопределённого интеграла оформилось в трудах Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница (1660-е — 1680-е годы), хотя задачи нахождения площадей и первообразных решались и раньше — у Архимеда, Кавальери, Ферма и Барроу. Символ интеграла $\int$ (от латинского summa) и дифференциал $dx$ ввёл Лейбниц. Строгое обоснование связи между интегралом и производной дал Огюстен Луи Коши в начале XIX века, а понятие первообразной и основная теорема анализа были сформулированы в трудах Бернарда Римана и Германа Дедекинда.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том 2.
- Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа. Том 2.
- Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть 2.
- Бурминский А. А. Математический анализ. Практикум.