Орт — базовый вектор системы координат¶

Орт — единичный вектор, направленный вдоль одной из осей системы координат. Совокупность трёх взаимно перпендикулярных ортов, отсчитанных от начала координат, образует ортонормированный базис евклидова пространства. Термин происходит от латинского orthogonialis — «прямоугольный» и тесно связан с понятием ортонормированности.

¶Определение и свойства

В декартовой системе координат орты обозначают символами i, j, k (или e₁, e₂, e₃). Каждый орт имеет длину (модуль) ровно 1 и направляется вдоль соответствующей оси. Для стандартного базиса:

• i = (1, 0, 0) — вдоль оси Ox;
• j = (0, 1, 0) — вдоль оси Oy;
• k = (0, 0, 1) — вдоль оси Oz.

Любой вектор a в трёхмерном пространстве разлагается на компоненты по ортам: a = aₓi + aᵧj + a_zk, где aₓ, aᵧ, a_z — координаты вектора. Скалярное произведение различных ортов равно нулю, а произведение орта на самого себя — единице. Это свойство и составляет основу ортонормированности базиса.

¶Орты в линейной алгебре

В общей линейной алгебре под ортом понимается элемент ортонормированного базиса конечномерного евклидова пространства. Понятие ортонормированности включает два условия: базисные векторы имеют единичную длину и попарно ортогональны. Любой ортонормированный базис может быть получен из любого другого ортонормированного базиса ортогональным преобразованием — матрицей, столбцы которой являются ортами.

Ортонормированный базис удобен тем, что координаты вектора вычисляются через скалярное произведение: aₓ = (a, i), aᵧ = (a, j), a_z = (a, k). Модуль вектора выражается как корень из суммы квадратов его компонент, а теорема Пифагора для векторов приобретает естественную форму.

¶Орты в физике и механике

В векторном анализе орты используются для записи базисных операций. Единичные векторы eᵣ, e_θ, e_φ составляют сферическую систему координат, а eᵣ, e_θ, e_z — цилиндрическую. В этих системах орты зависят от точки пространства, в отличие от декартовых ортов, которые постоянны.

В механике сплошных тел и теории упругости орты применяются для разложения векторов напряжений и деформаций на компоненты вдоль осей элемента. В кристаллографии орты задают направления кристаллографических осей, а в теории бегущих волн — направления распространения и поляризации электромагнитной волны.

¶Орты в компьютерной графике

В трёхмерной компьютерной графике орты являются базовыми объектами систем координат моделей, камер и источников света. Каждая система координат (мировая, локальная, видовая) определяется набором из трёх ортов и начала координат. Поворот объекта описывается ортонормированной матрицей 3×3, столбцы которой — орты локальной системы координат.

При интерполяции векторов (например, при сглаживании нормалей) направление суммы векторов нормализуется до единичной длины, то есть приводится к орту. Ошибки нормализации приводят к искажениям освещения, поэтому в графических конвейерах поддерживается аппаратная поддержка операции нормализации.

¶Орты в аффинной геометрии

В аффинных пространствах, где нет естественного начала координат, орты определяются только после выбора системы координат. При аффинном преобразовании орты, как правило, не сохраняются: аффинное преобразование переводит ортонормированный базис в базис, который ортонормированным не является. Для сохранения ортонормированности требуются преобразования, принадлежащие ортогональной или унитарной группе.

¶Историческая справка

Понятие ортонормированного базиса сформировалось в трудах по аналитической геометрии XVII века — Рене Декарт и Пьер де Ферма заложили основы координатного метода. Систематическое использование единичных базисных векторов связано с развитием векторного анализа в XIX веке — работами Гамильтона, Гиббса и Гейзенберга. Термин «орт» вошёл в обиход математиков в первой половине XX века.

¶Связанные понятия

• Ортонормированность — свойство базиса: единичные нормы и попарная ортогональность.
• Ортогональность — взаимная перпендикулярность векторов, при которой их скалярное произведение равно нулю.
• Нормализация — операция приведения вектора к единичной длине, результат — орт, совпадающий по направлению с исходным вектором.
• Грама — Шмидта — алгоритм ортогонализации произвольного базиса, на выходе дающий ортонормированный.

Источники:

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа
• Ильин В. А., Позняков Э. Г. Линейная алгебра
• Шеронов В. М. Дискретная математика
• Гиббс Дж. Векторный анализ