Отношение эквивалентности в математике¶

Отношение эквивалентности — в математике бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение эквивалентности формализует понятие «одинаковости» или «равнозначности» объектов: элементы, связанные таким отношением, считаются неразличимыми в рамках рассматриваемой задачи.

¶Определение

Пусть задано множество \(X\) и бинарное отношение \(\sim \subseteq X \times X\). Отношение \(\sim\) называется отношением эквивалентности, если для любых \(a, b, c \in X\) выполняются три условия:

• Рефлексивность: \(a \sim a\) (каждый элемент эквивалентен сам себе);
• Симметричность: если \(a \sim b\), то \(b \sim a\);
• Транзитивность: если \(a \sim b\) и \(b \sim c\), то \(a \sim c\).

Запись \(a \sim b\) читается как «a эквивалентно b». Вместо символа \(\sim\) часто используют \(\equiv\), \(\approx\) или \(\cong\) в зависимости от контекста.

¶Классы эквивалентности и фактормножество

Для элемента \(a \in X\) его классом эквивалентности \([a]\) называется множество всех элементов, эквивалентных \(a\):

\[ [a] = \{ x \in X \mid x \sim a \}. \]

Классы эквивалентности обладают ключевым свойством: любые два класса либо совпадают, либо не пересекаются. Таким образом, отношение эквивалентности разбивает множество \(X\) на непересекающиеся подмножества — классы эквивалентности. Это разбиение называется факторизацией множества.

Множество всех классов эквивалентности обозначается \(X / \sim\) и называется фактормножеством. Отображение \(\pi: X \to X / \sim\), сопоставляющее каждому элементу его класс, называется естественной проекцией (канонической сюръекцией).

¶Примеры

• Равенство чисел: на множестве действительных чисел отношение «=» является отношением эквивалентности. Каждый класс состоит из одного элемента.
• Сравнение по модулю: на множестве целых чисел \(\mathbb{Z}\) отношение «a ≡ b (mod n)» (a и b дают одинаковый остаток при делении на n) является отношением эквивалентности. Классы — это остатки 0, 1, …, n−1; фактормножество \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) — конечное кольцо вычетов.
• Подобие геометрических фигур: на множестве треугольников отношение подобия является отношением эквивалентности. Класс эквивалентности — все треугольники с одинаковыми углами.
• Параллельность прямых: на множестве прямых на плоскости отношение параллельности (включая совпадение) — отношение эквивалентности. Классы соответствуют направлениям прямых.
• Эквивалентность дробей: дроби a/b и c/d эквивалентны, если ad = bc. Класс эквивалентности — рациональное число.

¶Связь с разбиениями

Существует взаимно однозначное соответствие между отношениями эквивалентности на множестве \(X\) и разбиениями этого множества на непересекающиеся подмножества. Задание любого разбиения \(\{X_i\}_{i \in I}\) порождает отношение эквивалентности: \(a \sim b\) тогда и только тогда, когда \(a\) и \(b\) принадлежат одному и тому же блоку разбиения. Обратно, любое отношение эквивалентности задаёт разбиение на классы.

¶Операции над отношениями

Пересечение двух отношений эквивалентности на одном множестве снова является отношением эквивалентности. Объединение, как правило, этим свойством не обладает. Композиция отношений эквивалентности также не обязана быть отношением эквивалентности.

¶Значение и применения

Отношения эквивалентности лежат в основе многих математических конструкций:

• Построение новых объектов: рациональные числа определяются как классы эквивалентности пар целых чисел; действительные числа — как классы эквивалентности фундаментальных последовательностей (построение Кантора) или сечений (построение Дедекинда).
• Факторпространства: в топологии и алгебре фактормножества наделяются естественной структурой (фактортопология, факторгруппа, факторкольцо).
• Отождествление: в геометрии склейка краёв фигуры (например, лента Мёбиуса или тор) формализуется через отношение эквивалентности.
• Классификация: в математике под классификацией объектов понимают описание классов эквивалентности относительно некоторого естественного отношения (например, классификация простых конечных групп).

¶Обобщения

Ослабление требований приводит к другим типам отношений: при отказе от симметричности получается отношение предпорядка (квазипорядка); при добавлении антисимметричности к предпорядку — отношение частичного порядка. Отношение эквивалентности, согласованное с алгебраической операцией, называется конгруэнцией и позволяет строить факторалгебры.

¶См. также

• Бинарное отношение
• Фактормножество
• Конгруэнция (алгебра)
• Отношение порядка