Виды четырёхугольников и признаки¶

Четырёхугольник — это многоугольник, имеющий четыре вершины и четыре стороны. В евклидовой геометрии четырёхугольник является одной из базовых фигур, а его изучение составляет значительную часть школьного курса планиметрии. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника всегда равна 360 градусам. Классификация четырёхугольников строится на основе свойств их сторон, углов и диагоналей, что позволяет выделить несколько основных видов, обладающих строгими признаками.

¶Общая классификация

Все четырёхугольники делятся на два больших класса: выпуклые и невыпуклые (вогнутые). У выпуклого четырёхугольника все внутренние углы меньше 180°, и он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. Невыпуклый четырёхугольник имеет внутренний угол больше 180° (так называемый входящий угол).

Среди выпуклых четырёхугольников выделяют несколько основных видов, каждый из которых определяется набором характерных признаков.

¶Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это определение является основным признаком фигуры.

К свойствам параллелограмма относятся:

• Противоположные стороны равны;
• Противоположные углы равны;
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма (условия, при выполнении которых четырёхугольник является параллелограммом):

1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм.
3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

¶Частные виды параллелограмма

¶Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90°). Для прямоугольника справедливы все свойства параллелограмма, а также дополнительное свойство: его диагонали равны. Признак прямоугольника: если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.

¶Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойства ромба включают свойства параллелограмма, а также то, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. Признак ромба: если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.

¶Квадрат

Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Квадрат одновременно является прямоугольником (все углы прямые) и ромбом (все стороны равны). Он обладает всеми свойствами этих фигур: его диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы пополам. Квадрат считается правильным четырёхугольником.

¶Трапеция

Трапеция — это четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.

Виды трапеций:

• Равнобедренная (равнобокая) трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны. Её свойства: углы при каждом основании равны, диагонали равны.
• Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Признаки трапеции: четырёхугольник является трапецией, если две его стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Средняя линия трапеции (отрезок, соединяющий середины боковых сторон) параллельна основаниям и равна их полусумме.

¶Другие виды четырёхугольников

Помимо параллелограммов и трапеций, существуют и другие четырёхугольники, не имеющие пар параллельных сторон. К ним относятся:

• Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных (соседних) сторон равны. В отличие от ромба, у дельтоида равны не противоположные, а соседние стороны. Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны, и одна из них является осью симметрии.
• Произвольный четырёхугольник — фигура, не обладающая свойствами перечисленных выше классов. Для произвольного выпуклого четырёхугольника справедлива теорема о сумме углов (360°) и свойство средней линии (отрезка, соединяющего середины противоположных сторон).

¶Таблица признаков

Иерархия видов выглядит следующим образом: квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба; прямоугольник и ромб являются частными случаями параллелограмма. Трапеция и дельтоид стоят особняком и не входят в класс параллелограммов.