Поль Леви¶

Поль Леви — французский математик, один из основоположников современной теории вероятностей, создатель теории процессов Леви и автор фундаментальных работ по функциональному анализу и теории стохастического интегрирования.

¶Биография

Поль Пьер Леви родился 15 сентября 1886 года в Париже в семье инженера и выпускника Политехнической школы. Его отец, Люсьен Леви, был профессором минералогии в Горной школе. Мать происходила из семьи известных еврейских интеллектуалов. Юный Поль рано проявил математические способности: уже в 11 лет он самостоятельно освоил начала аналитической геометрии, а в 15 лет — основы дифференциального и интегрального исчисления.

В 1904 году Леви поступил в Высшую нормальную школу (École Normale Supérieure), где его преподавателями были Эмиль Пикар и Жак Адамар. Уже в студенческие годы он опубликовал первую научную работу по теории функций. В 1910 году защитил докторскую диссертацию, посвящённую функциональным уравнениям и их применению к анализу. После защиты Леви преподавал в ряде высших учебных заведений, а в 1913 году стал профессором Горной школы (École des Mines) в Париже, где проработал до конца своей карьеры.

В годы Первой мировой войны Леви служил офицером артиллерии. После войны он вернулся к академической деятельности и в 1920 году начал читать курс теории вероятностей в Политехнической школе, что стало поворотным моментом в его научной биографии — именно тогда он сосредоточился на вероятностной проблематике.

В 1934 году Леви был избран членом Парижской академии наук. Во время Второй мировой войны, из-за еврейского происхождения, он был отстранён от преподавания и вынужден скрываться. Несмотря на тяжёлые условия, он продолжал научную работу, публикуя результаты под псевдонимами. После освобождения Франции Леви вернулся к преподаванию и научной деятельности.

Умер Поль Леви 15 декабря 1971 года в Париже.

¶Научная деятельность

¶Теория вероятностей

Основные достижения Леви связаны с теорией вероятностей, которую он фактически перестроил на новой аксиоматической основе. В 1925 году он опубликовал монографию «Calcul des probabilités» («Исчисление вероятностей»), где впервые систематически изложил понятие характеристической функции как универсального инструмента исследования распределений. Леви доказал теорему о сходимости характеристических функций (теорема Леви), которая стала центральным результатом теории предельных теорем.

В 1937 году вышла его фундаментальная работа «Théorie de l’addition des variables aléatoires» («Теория сложения случайных величин»), в которой были заложены основы теории устойчивых распределений. Леви дал полное описание класса устойчивых законов, введя понятие показателя устойчивости и параметра асимметрии. Он также установил область притяжения устойчивых законов, обобщив классическую центральную предельную теорему.

¶Процессы Леви

Наиболее значимым вкладом Леви в теорию вероятностей стало создание теории случайных процессов с независимыми приращениями, которые ныне называются процессами Леви. В работах 1934–1954 годов он показал, что любой такой процесс можно представить как сумму трёх компонент: детерминированного линейного тренда, гауссовской диффузии и чисто скачкообразной составляющей. Это представление, известное как разложение Леви — Ито, легло в основу современной теории стохастических процессов.

Леви также ввёл понятие локального времени для броуновского движения и доказал теорему о модуле непрерывности траекторий броуновского движения (закон повторного логарифма Леви). Он разработал концепцию стохастической площади (площадь Леви), которая стала прообразом современных понятий стохастического интегрирования.

¶Функциональный анализ

В области функционального анализа Леви получил важные результаты по теории выпуклых множеств и экстремальным задачам. Он доказал теорему о продолжении линейных функционалов (теорема Хана — Банаха — Леви) и ввёл понятие субдифференциала выпуклой функции. Его работы по вариационному исчислению предвосхитили ряд идей, позднее развитых в теории оптимального управления.

¶Наследие и признание

Научное наследие Поля Леви включает более 250 публикаций, среди которых несколько монографий, переведённых на многие языки. Его идеи оказали решающее влияние на развитие теории случайных процессов, математической статистики и финансовой математики. В 1964 году Леви был избран иностранным членом Лондонского королевского общества, а в 1967 году — иностранным членом Национальной академии наук США.

Именем учёного названы: процессы Леви, устойчивые распределения Леви, мера Леви, площадь Леви, метрика Леви — Прохорова, а также кратер на обратной стороне Луны. Среди его учеников — такие выдающиеся математики, как Вольфганг Дёблин и Мишель Лёв. В честь Поля Леви названа премия, присуждаемая Международным обществом теории вероятностей.

¶Основные труды

• «Leçons d'analyse fonctionnelle» (1922)
• «Calcul des probabilités» (1925)
• «Théorie de l'addition des variables aléatoires» (1937)
• «Processus stochastiques et mouvement brownien» (1948, совместно с М. Лёвом)
• «Problèmes concrets d'analyse fonctionnelle» (1951)

¶Источники

• Биографический словарь «Математики» под редакцией И. М. Виноградова
• Loève M. «Paul Lévy, 1886–1971» // Annals of Probability, 1973
• «Поль Леви и теория случайных процессов» — материалы конференции к 100-летию со дня рождения, 1986