Построение конуса¶
Конус — это объёмное геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью (основанием). Линия, по которой коническая поверхность пересекается с плоскостью основания, называется направляющей конуса. Точка конической поверхности, не лежащая в плоскости основания, — вершина конуса. Отрезки, соединяющие вершину с точками направляющей, — образующие. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса. Если вершина проектируется в центр основания, конус называется прямым круговым.
¶Основные определения
Наиболее распространённым является круговой конус — тело, у которого основание является кругом. Ключевые элементы кругового конуса:
- Ось — прямая, проходящая через вершину и центр основания.
- Радиус основания — радиус круга, служащего основанием.
- Образующая — отрезок от вершины до точки окружности основания. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
- Апофема — высота боковой поверхности треугольного сечения конуса, проведённого через ось; для прямого кругового конуса апофема совпадает с образующей.
- Сечение через ось — равнобедренный треугольник, основание которого равняется диаметру основания, а боковые стороны — образующим.
¶Построение конуса с помощью чертежа
На плоскости конус изображается в виде равнобедренного треугольника с окружностью или эллипсом, изображающим основание. Порядок построения:
- Проводится осевая линия (вертикальный отрезок), на которой откладывается высота конуса.
- В нижней точке осевой линии проводится горизонтальный отрезок — диаметр основания; его середина совпадает с проекцией вершины.
- Концы диаметра соединяются с вершиной — получаются образующие.
- При изображении в перспективе основание рисуется в виде полуокружности (видимой части) и полуэллипса (скрытой части), если конус стоит на плоскости.
Для наглядности скрытые линии (задняя половина основания) обычно выполняются штриховой линией.
¶Изготовление объёмной модели из бумаги
Развёртка прямого кругового конуса состоит из кругового сектора (боковая поверхность) и полного круга (основание). Радиус сектора равен образующей конуса, а длина дуги сектора — длине окружности основания.
Порядок действий:
- На плотной бумаге чертится круг нужного радиуса — это будущее основание.
- Откладывается угол развёртки, вычисляемый по формуле: α = 360° × r / l, где r — радиус основания, l — образующая. Например, при r = 5 см и l = 13 см угол развёртки составит примерно 138,5°.
- Из центра окружности проводятся два радиуса с этим углом между ними; часть круга между ними — развёртка боковой поверхности.
- Сектор вырезается, его края склеиваются — получается боковая поверхность конуса.
- Круг-основание приклеивается к нижнему краю сектора.
Если нужен конус строго заданной высоты h, то образующая вычисляется по теореме Пифагора: l = √(r² + h²).
¶Математические формулы
Для кругового конуса с радиусом основания r, высотой h и образующей l:
| Величина | Формула |
|---|---|
| Образующая | l = √(r² + h²) |
| Площадь боковой поверхности | Sбок = πrl |
| Площадь полной поверхности | Sполн = πr(r + l) |
| Объём | V = ⅓πr²h |
Формула объёма конуса впервые получена Архимедом; он также доказал, что объём конуса втрое меньше объёма цилиндра с тем же основанием и той же высотой.
¶Вращение прямоугольника
Круговой конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Если катеты треугольника равны r и h, а гипотенуза — l, то при вращении вокруг катета длиной h катет длиной r опишет окружность основания, а гипотенуза — коническую поверхность. Этот приём лежит в основе определения тел вращения и позволяет распространить формулы объёма и площади на более сложные фигуры.
¶Типы конусов
Помимо кругового, различают:
- Эллиптический конус — основание является эллипсом.
- Пирамиду — конус, у которого основание есть многоугольник (в этом случае конус называют пирамидой).
- Косой конус — вершина не проецируется в центр основания.
В аналитической геометрии круговой конус описывается уравнением x²/a² + y²/a² = z²/c², где ось Oz совпадает с осью конуса, а вершина расположена в начале координат.
¶Применение
Конусообразная форма используется в технике (воронки, конусы световых сигналов, конусы обзора радаров), в архитектуре (шпили, купола), в спортивных соревнованиях (разметочные конусы), в кулинарии (кондитерские мешки). В физике понятие «световой конус» обозначает область пространства, достижимую для сигнала, исходящего из данной точки.
¶Источники
- Атанасян Л. С. «Геометрия. 7–9 класс»
- Погорелов А. В. «Геометрия. 7–11 класс»
- Кочетков Ю. А. «Стереометрия»
- Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона