Правило Крамера¶

Правило Крамера — это правило в теории вероятностей и математической статистике, устанавливающее связь между условной вероятностью события и вероятностями его составляющих. Сформулировано в 1763 году английским священником и математиком Томасом Байесом (правило Байеса), а в современном виде — в 1812 году Пьером-Симоном Лапласом. Название «правило Крамера» закрепилось в русскоязычной литературе, хотя в англоязычной традиции оно известно как «правило умножения вероятностей» (multiplication rule) или «формула полной вероятности» (total probability rule). В отечественной литературе термин «правило Крамера» часто используется для обозначения формулы полной вероятности, а также правила произведения вероятностей при условной независимости.

¶Историческая справка

Термин «правило Крамера» связан с именем швейцарского математика Габриэля Крамера (1704—1752), который в труде «Введение в анализ алгебраических кривых» (1750) изложил метод решения систем линейных уравнений. Однако в теории вероятностей правило Крамера имеет иное происхождение: оно восходит к работам Байеса и Лапласа, а также к исследованиям Якоба Бернулли («Ars Conjectandi», 1713) и Пьера де Ферма.

В русской математической традиции термин «правило Крамера» закрепился благодаря работам А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина, а также учебникам по теории вероятностей, в частности, труду А. Н. Ширяева «Вероятность» (1980). В англоязычной литературе аналогичное правило называют «правилом умножения вероятностей» или «формулой полной вероятности».

¶Формулировка правила

Пусть $A_1, A_2, \dots, A_n$ — полная группа несовместимых событий (таких, что $P(A_i) > 0$ и $\sum_{i=1}^n P(A_i) = 1$), а $B$ — произвольное событие. Тогда вероятность события $B$ определяется формулой:

$$P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B \mid A_i),$$

где $P(B \mid A_i)$ — условная вероятность события $B$ при условии наступления события $A_i$.

Эта формула называется формулой полной вероятности и является основой правила Крамера.

¶Специальные случаи

¶Два события

Для двух несовместимых событий $A_1$ и $A_2$, образующих полную группу, формула принимает вид:

$$P(B) = P(A_1) \cdot P(B \mid A_1) + P(A_2) \cdot P(B \mid A_2).$$

¶Независимые события

Если события $A$ и $B$ независимы, то $P(B \mid A) = P(B)$, и правило Крамера принимает вид:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$$

Это правило произведения вероятностей для независимых событий.

¶Применение

Правило Крамера широко применяется в теории вероятностей, математической статистике, теории игр, теории информации и других разделах математики. Оно является основой для вывода формулы Байеса, которая используется в байесовской статистике, машинном обучении, криптографии и других областях.

¶Пример

Пусть на заводе выпускаются детали двух типов: тип $A$ (60% продукции) и тип $B$ (40% продукции). Вероятность брака для типа $A$ равна 0,02, а для типа $B$ — 0,05. Тогда вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется бракованной, равна:

$$P(\text{брак}) = P(A) \cdot P(\text{брак} \mid A) + P(B) \cdot P(\text{брак} \mid B) = 0,6 \cdot 0,02 + 0,4 \cdot 0,05 = 0,012 + 0,02 = 0,032.$$

¶Связь с другими правилами

Правило Крамера тесно связано с другими фундаментальными правилами теории вероятностей:

• Правило сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Правило произведения вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.
• Формула Байеса: $P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B \mid A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j) \cdot P(B \mid A_j)}$.

¶Литература

1. Колмогоров А. Н. «Основы теории вероятностей». — М.: Наука, 1973.
2. Ширяев А. Н. «Вероятность». — М.: Наука, 1980.
3. Феллер В. «Введение в теорию вероятностей и её приложения». — М.: Мир, 1967.
4. Лаплас П.-С. «Трактат о вероятностях». — М.: Наука, 1986.