Предел функции: определение и примеры¶

Предел — одно из фундаментальных понятий математического анализа, описывающее поведение функции или последовательности при приближении аргумента к некоторой точке. Предел не всегда достигается: он характеризует значение, к которому выражение стремится сколь угодно близко, но может и не принимать его. Понятие лежит в основе определения непрерывности, производной и интеграла, поэтому его изучение начинается в старших классах школы и продолжается в курсах высшей математики вузов.

¶Определение

Для функции \(f(x)\) число \(L\) называют пределом при \(x \to a\), если для любого сколь угодно малого положительного числа \(\varepsilon\) найдётся такое положительное число \(\delta\), что при всех \(x\), удовлетворяющих условию \(0 < |x - a| < \delta\), выполняется неравенство \(|f(x) - L| < \varepsilon\). Запись: \(\lim_{x \to a} f(x) = L\). Это определение («на языке \(\varepsilon\) и \(\delta\)») сформулировал в XIX веке Карл Вейерштрасс, придав анализу строгую логическую основу.

Различают предел в точке, предел на бесконечности (\(x \to \infty\)), а также односторонние пределы — слева (\(x \to a^-\)) и справа (\(x \to a^+\)). Если односторонние пределы не совпадают, двусторонний предел не существует.

¶Свойства

• Предел суммы, произведения и частного равен соответственно сумме, произведению и частному пределов (при условии, что знаменатель не обращается в нуль).
• Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
• Если функция заключена между двумя другими, имеющими одинаковый предел, то её предел совпадает с ним (теорема о двух милиционерах).
• Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда её предел в этой точке равен значению функции.

¶Основные приёмы вычисления

Простейший случай — подстановка: если функция определена в точке, предел равен её значению. Например, \(\lim_{x \to 2}(3x + 1) = 7\). Сложнее, когда подстановка даёт неопределённость вида \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\). Тогда применяют разложение на множители, умножение на сопряжённое, деление на старшую степень, правило Лопиталя или замечательные пределы.

¶Примеры

Пример 1. Раскрытие неопределённости \(\frac{0}{0}\) разложением. \[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3}(x+3) = 6. \] Подстановка \(x = 3\) давала \(\frac{0}{0}\), но после сокращения неопределённость исчезла.

Пример 2. Деление на старшую степень. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 5x}{3x^2 - 1} = \frac{2}{3}. \] Числитель и знаменатель делят на \(x^2\); слагаемые с \(x\) в знаменателе стремятся к нулю.

Пример 3. Первый замечательный предел. \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. \] Этот результат используется при вычислении многих тригонометрических пределов.

Пример 4. Второй замечательный предел. \[ \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \approx 2{,}71828. \] Число \(e\) — основание натурального логарифма.

Пример 5. Умножение на сопряжённое. \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2}. \]

Пример 6. Предел последовательности. Последовательность \(a_n = \frac{1}{n}\) имеет предел 0: с ростом \(n\) её члены становятся сколь угодно малыми. А последовательность \(a_n = (-1)^n\) предела не имеет, так как колеблется между \(-1\) и \(1\).

Пример 7. Отсутствие предела. Функция \(f(x) = \frac{1}{x}\) при \(x \to 0\) не имеет предела: слева она стремится к \(-\infty\), справа — к \(+\infty\). Односторонние пределы различны.

Пример 8. Предел и непрерывность. Для \(f(x) = x^2\) предел при \(x \to 4\) равен 16, что совпадает со значением функции, — она непрерывна в этой точке.

¶Значение

Понятие предела применяется в физике (мгновенная скорость как предел средней), экономике (предельные величины), информатике (асимптотическая сложность алгоритмов). Производная определяется как предел отношения приращений, а определённый интеграл — как предел интегральных сумм. Без предела невозможно строгое изложение дифференциального и интегрального исчисления.

¶Типичные ошибки

Частая ошибка — считать, что предел всегда равен значению функции в точке. Это верно лишь для непрерывных функций. Другая ошибка — механическая подстановка при неопределённости, когда требуется преобразование выражения. Также путают существование предела и его конечность: предел может быть бесконечным или не существовать вовсе.

Источники: учебники по математическому анализу, справочники по высшей математике, школьные курсы алгебры и начал анализа.