Предел последовательности и функции¶

Предел — в математике значение, к которому стремится последовательность или функция при стремлении аргумента к определённой точке. Понятие предела является фундаментом математического анализа и лежит в основе определений непрерывности, производной и интеграла. Обозначение lim происходит от латинского limes — «предел, граница».

¶Предел последовательности

Последовательность чисел $x_1, x_2, x_3, \dots$ имеет предел $a$, если для любого положительного числа $\varepsilon$ найдётся номер $N$, начиная с которого все члены последовательности отстоят от $a$ не более чем на $\varepsilon$:

$$\forall \varepsilon > 0 \; \exists N \in \mathbb{N} : \; n > N \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon.$$

Такое определение, сформулированное в XIX веке Огюстеном Коши и уточнённое Карлом Вейерштрассом, получило название «$\varepsilon$–$N$ определение». Оно заменило нестрогие интуитивные представления о «бесконечно малых» и «бесконечно больших» величинах, использовавшиеся в работах Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница.

Если предел конечен, последовательность называют сходящейся, если нет — расходящейся. Например, последовательность $x_n = 1/n$ сходится к нулю, а $x_n = (-1)^n$ расходится.

¶Предел функции

Предел функции $f(x)$ в точке $a$ равен $L$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - a| < \delta$, выполняется $|f(x) - L| < \varepsilon$:

$$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 : \; 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon.$$

Условие $0 < |x - a|$ означает, что поведение функции непосредственно в точке $a$ не влияет на предел — важно лишь поведение вблизи этой точки. Это определение также связано с именами Коши и Вейерштрасса.

Различают односторонние пределы: правый $\lim_{x \to a^+} f(x)$ и левый $\lim_{x \to a^-} f(x)$. Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела.

¶Свойства пределов

Для сходящихся последовательностей и функций справедливы следующие правила:

• предел суммы равен сумме пределов: $\lim (f + g) = \lim f + \lim g$;
• предел произведения равен произведению пределов: $\lim (f \cdot g) = \lim f \cdot \lim g$;
• предел частного равен частному пределов при ненулевом знаменателе;
• если $f(x) \le g(x)$ вблизи точки предела, то $\lim f(x) \le \lim g(x)$ («теорема о двух милиционерах» — так иногда иронично называют этот результат в русскоязычной учебной традиции).

Из этих свойств следует правило замены переменной: если $\lim_{x \to a} f(x) = L$ и функция $g$ непрерывна в точке $L$, то $\lim_{x \to a} g(f(x)) = g(L)$.

¶Основные теоремы

Теорема о единственности предела. У последовательности не более одного предела.

Теорема Вейерштрасса о ограниченности. Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема Больцано — Коши о промежуточном значении. Если функция непрерывна на отрезке $[a, b]$ и принимает значения $A$ и $B$, то она принимает любое значение между $A$ и $B$.

Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится.

¶Пределы особого рода

При $x \to \infty$ предел определяется аналогично: для любого $\varepsilon > 0$ существует $N$ такое, что $x > N$ влечёт $|f(x) - L| < \varepsilon$.

Бесконечно малые — функции, предел которых равен нулю; бесконечно большие — функции, модуль которых неограниченно возрастает. Их комбинации приводят к неопределённым выражениям вида $0/0$, $\infty/\infty$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $\infty^0$, $0^0$. Для их вычисления применяют методы разложения в ряды, вынесения общего множителя, применения правила Лопиталя и других приёмов.

¶Роль в математическом анализе

Понятие предела позволяет строго определить:

• непрерывность — функция непрерывна в точке, если предел функции в этой точке равен её значению;
• производную — как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю;
• интеграл — как предел интегральных сумм при стремлении длины разбиения к нулю.

Теория пределов получила развитие в работах немецких математиков XIX века — Карла Вейерштрасса, Рихарда Дедекинда, Георга Кантора — и легла в основу строгого обоснования математического анализа, известного как «строгая революция».

¶История

Первые представления о пределе восходят к античности: метод исчерпания Евдокса Книдского и Архимеда позволял вычислять площади и объёмы, фактически используя идею предела. В XVII веке Ньютон и Лейбниц создали дифференциальное и интегральное исчисление, опираясь на понятия бесконечно малых, но без строгого обоснования. Критика Беркли (1734) подтолкнула математиков к поиску строгих определений. Окончательный вид $\varepsilon$–$\delta$ определение получило в трудах Коши (1821) и Вейерштрасса (1860-е годы).

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
• Ильин В. А., Садовничий В. А., Соболевский П. Е. Лекции по математическому анализу.
• Вейерштрасс К. Непрерывные функции алгебраически непрерывных величин.
• Коши А. Л. Анализ алгебраический.